Номер 19.9, страница 207 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.9. Найдите диагонали правильной шестиугольной призмы, каждое ребро которой равно $a$.

По условию, дана правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны a. Это означает, что основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной a, а боковые ребра, равные высоте призмы (h), также равны a.

Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани. Длина диагонали призмы зависит от того, какие вершины она соединяет. Чтобы найти эти длины, мы будем использовать теорему Пифагора для пространственного случая. Длина диагонали призмы ($D$) связана с ее высотой ($h$) и длиной ее проекции на основание ($d$) формулой $D^2 = h^2 + d^2$. Проекцией диагонали призмы на основание является диагональ шестиугольника, лежащего в основании.

Сначала найдем длины диагоналей правильного шестиугольника со стороной a. В нем есть два типа диагоналей.

1. Малая диагональ основания ($d_1$). Она соединяет две вершины через одну. Ее длину можно вычислить по теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами шестиугольника и этой диагональю. Угол между смежными сторонами правильного шестиугольника составляет $120^\circ$.
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$
Отсюда, $d_1 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

2. Большая диагональ основания ($d_2$). Она соединяет две противоположные вершины и проходит через центр шестиугольника. Ее длина равна удвоенной стороне шестиугольника.
$d_2 = 2a$.

Теперь, зная длины диагоналей основания и высоту призмы ($h = a$), мы можем найти длины пространственных диагоналей призмы.

Меньшая диагональ призмы ($D_1$). Она опирается на малую диагональ основания $d_1$. По теореме Пифагора:
$D_1^2 = h^2 + d_1^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$
$D_1 = \sqrt{4a^2} = 2a$.

Большая диагональ призмы ($D_2$). Она опирается на большую диагональ основания $d_2$. По теореме Пифагора:
$D_2^2 = h^2 + d_2^2 = a^2 + (2a)^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2$
$D_2 = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

Следовательно, у данной правильной шестиугольной призмы есть диагонали двух различных длин.

Ответ: $2a$ и $a\sqrt{5}$.