Страница 207 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.5. Через диагональ $AC$ основания правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $45^{\circ}$ и пересекающая ребро $BB_1$ в точке $M$ (рис. 19.24). Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна 8 см.

Рис. 19.24

Поскольку призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ правильная, в ее основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной 8 см, а боковые ребра перпендикулярны основанию. Сечением является треугольник $AMC$. Для нахождения его площади $S_{AMC}$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

1. Нахождение длины основания сечения AC
Основание сечения $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ см.

2. Определение линейного угла и нахождение высоты сечения MO
Угол между плоскостью сечения $(AMC)$ и плоскостью основания $(ABC)$ по условию равен $45^\circ$. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями по линии их пересечения $AC$.
Для построения линейного угла из одной точки на ребре $AC$ проведем перпендикуляры в каждой плоскости. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Тогда $O$ — середина $AC$.
В плоскости основания $(ABC)$ имеем $BO \perp AC$, так как диагонали квадрата перпендикулярны.
Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. Они прямоугольные ($\angle B=90^\circ$), $MB$ — общий катет, $AB=BC$. Значит, $\triangle ABM = \triangle CBM$, откуда $AM = CM$. Следовательно, $\triangle AMC$ — равнобедренный. В нем медиана $MO$ является и высотой, то есть $MO \perp AC$.
Таким образом, линейный угол двугранного угла — это $\angle MOB = 45^\circ$.
Рассмотрим $\triangle MBO$. Он прямоугольный, так как $MB \perp BO$ (поскольку ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию).
Катет $BO$ равен половине диагонали $BD$. Так как $BD=AC=8\sqrt{2}$ см, то $BO = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Высота сечения $MO$ является гипотенузой в $\triangle MBO$. Найдем ее из соотношения в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\angle MOB) = \frac{BO}{MO} \implies MO = \frac{BO}{\cos(45^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 8$ см.

3. Вычисление площади сечения AMC
Теперь, зная основание $AC$ и высоту $MO$, вычислим площадь треугольника $AMC$:
$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

Ответ: $32\sqrt{2}$ см².

19.6. В наклонной четырёхугольной призме проведено сечение, пересекающее все боковые рёбра призмы и перпендикулярное им. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если данное сечение является ромбом со стороной 5 см, а боковое ребро призмы равно 8 см.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы можно найти по формуле, связывающей её с периметром перпендикулярного сечения и длиной бокового ребра:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$,

где $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра.

По условию задачи, перпендикулярное сечение является ромбом со стороной $a = 5$ см. Периметр ромба, как и любого четырёхугольника с равными сторонами, вычисляется по формуле $P = 4a$. Таким образом, периметр нашего перпендикулярного сечения равен:

$P_{\perp} = 4 \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Длина бокового ребра призмы дана в условии и составляет $l = 8$ см.

Теперь, используя формулу для площади боковой поверхности, подставим известные значения:

$S_{бок} = 20 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 160 \text{ см}^2$.

Ответ: $160 \text{ см}^2$.

19.7. В наклонной треугольной призме проведено сечение, пересекающее все боковые рёбра призмы и перпендикулярное им. Найдите боковое ребро призмы, если данное сечение является прямоугольным треугольником с катетами 9 см и 12 см, а площадь боковой поверхности призмы равна $288 \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы можно найти по формуле: $S_{бок} = P_{пс} \cdot L$, где $P_{пс}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $L$ — длина бокового ребра.

В условии задачи дано, что перпендикулярное сечение является прямоугольным треугольником с катетами $a = 9$ см и $b = 12$ см. Найдем гипотенузу $c$ этого треугольника, используя теорему Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь вычислим периметр перпендикулярного сечения ($P_{пс}$), который равен сумме длин его сторон:

$P_{пс} = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36$ см.

Площадь боковой поверхности призмы известна и равна $S_{бок} = 288$ см².

Из формулы для площади боковой поверхности выразим длину бокового ребра $L$:

$L = \frac{S_{бок}}{P_{пс}}$

Подставим известные значения:

$L = \frac{288}{36} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

19.8. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $a$, а угол между диагональю призмы и боковой гранью равен $30^\circ$. Найдите:

1) высоту призмы;

2) угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$, то есть $AB = BC = CD = DA = a$. Высота призмы равна $H = AA_1 = CC_1$.

1) высоту призмы;

Найдем высоту призмы $H$. По условию, угол между диагональю призмы и боковой гранью равен $30^{\circ}$. Возьмем диагональ $AC_1$ и боковую грань $DCC_1D_1$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Найдем проекцию диагонали $AC_1$ на плоскость грани $(DCC_1D_1)$.

Для этого спроецируем концы отрезка $A$ и $C_1$ на эту плоскость.

• Точка $C_1$ уже лежит в плоскости $(DCC_1D_1)$, поэтому ее проекцией является она сама.
• Так как призма правильная, ее основание $ABCD$ — квадрат, а боковые ребра перпендикулярны основанию. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DC$ ($AD \perp DC$) и ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DD_1$ ($AD \perp DD_1$). Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым в плоскости, перпендикулярна самой плоскости. Значит, $AD \perp (DCC_1D_1)$. Таким образом, проекцией точки $A$ на плоскость $(DCC_1D_1)$ является точка $D$.

Следовательно, проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $(DCC_1D_1)$ является отрезок $DC_1$. Угол между диагональю $AC_1$ и ее проекцией $DC_1$ — это угол $\angle AC_1D$. По условию, $\angle AC_1D = 30^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1D$. Поскольку $AD \perp (DCC_1D_1)$, то $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $DC_1$. Значит, $\triangle AC_1D$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AC_1D$ катет $AD = a$, а противолежащий ему угол $\angle AC_1D = 30^{\circ}$. Найдем длину катета $DC_1$:
$\text{tg}(\angle AC_1D) = \frac{AD}{DC_1} \implies DC_1 = \frac{AD}{\text{tg}(30^{\circ})} = \frac{a}{1/\sqrt{3}} = a\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим грань $DCC_1D_1$, которая является прямоугольником. Диагональ этого прямоугольника — $DC_1$. Треугольник $\triangle DCC_1$ — прямоугольный ($\angle C = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора:
$DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2$
$(a\sqrt{3})^2 = a^2 + H^2$
$3a^2 = a^2 + H^2$
$H^2 = 3a^2 - a^2 = 2a^2$
$H = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Ответ: $a\sqrt{2}$.

2) угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

Найдем угол между диагональю призмы $AC_1$ и плоскостью основания $(ABCD)$. Этот угол — это угол между прямой $AC_1$ и ее проекцией на плоскость $(ABCD)$.

Проекцией точки $A$ на плоскость основания является сама точка $A$.
Проекцией точки $C_1$ на плоскость основания является точка $C$, так как боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию.
Следовательно, проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания $(ABCD)$ является диагональ основания $AC$.

Искомый угол — это $\angle C_1AC$. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle C_1AC$. Так как $CC_1 \perp (ABCD)$, то $CC_1 \perp AC$. Следовательно, $\triangle C_1AC$ — прямоугольный.

В этом треугольнике:

• Катет $CC_1$ — это высота призмы, $CC_1 = H = a\sqrt{2}$ (из пункта 1).
• Катет $AC$ — это диагональ квадрата $ABCD$. Из прямоугольного треугольника $\triangle ADC$ по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Найдем тангенс угла $\alpha$:
$\text{tg}(\alpha) = \frac{CC_1}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$.
Если $\text{tg}(\alpha) = 1$, то $\alpha = 45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$.

19.9. Найдите диагонали правильной шестиугольной призмы, каждое ребро которой равно $a$.

По условию, дана правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны a. Это означает, что основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной a, а боковые ребра, равные высоте призмы (h), также равны a.

Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани. Длина диагонали призмы зависит от того, какие вершины она соединяет. Чтобы найти эти длины, мы будем использовать теорему Пифагора для пространственного случая. Длина диагонали призмы ($D$) связана с ее высотой ($h$) и длиной ее проекции на основание ($d$) формулой $D^2 = h^2 + d^2$. Проекцией диагонали призмы на основание является диагональ шестиугольника, лежащего в основании.

Сначала найдем длины диагоналей правильного шестиугольника со стороной a. В нем есть два типа диагоналей.

1. Малая диагональ основания ($d_1$). Она соединяет две вершины через одну. Ее длину можно вычислить по теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами шестиугольника и этой диагональю. Угол между смежными сторонами правильного шестиугольника составляет $120^\circ$.
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$
Отсюда, $d_1 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

2. Большая диагональ основания ($d_2$). Она соединяет две противоположные вершины и проходит через центр шестиугольника. Ее длина равна удвоенной стороне шестиугольника.
$d_2 = 2a$.

Теперь, зная длины диагоналей основания и высоту призмы ($h = a$), мы можем найти длины пространственных диагоналей призмы.

Меньшая диагональ призмы ($D_1$). Она опирается на малую диагональ основания $d_1$. По теореме Пифагора:
$D_1^2 = h^2 + d_1^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$
$D_1 = \sqrt{4a^2} = 2a$.

Большая диагональ призмы ($D_2$). Она опирается на большую диагональ основания $d_2$. По теореме Пифагора:
$D_2^2 = h^2 + d_2^2 = a^2 + (2a)^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2$
$D_2 = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

Следовательно, у данной правильной шестиугольной призмы есть диагонали двух различных длин.

Ответ: $2a$ и $a\sqrt{5}$.

19.10. Основание прямой призмы — ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите диагонали призмы.

Для решения задачи сначала найдем диагонали основания призмы, которым является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Пусть $d_1$ — большая диагональ ромба, а $d_2$ — меньшая.

Меньшая диагональ $d_2$ лежит против острого угла $\alpha$. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба и меньшей диагональю:

$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\alpha = 2a^2(1 - \cos\alpha)$

Используя тригонометрическую формулу понижения степени $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$, получаем:

$d_2^2 = 4a^2\sin^2\frac{\alpha}{2} \implies d_2 = 2a\sin\frac{\alpha}{2}$

Большая диагональ $d_1$ лежит против тупого угла ромба, равного $180^\circ - \alpha$. Аналогично по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 2a^2(1 + \cos\alpha)$

Используя формулу $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$, получаем:

$d_1^2 = 4a^2\cos^2\frac{\alpha}{2} \implies d_1 = 2a\cos\frac{\alpha}{2}$

Призма прямая, поэтому ее высота $h$ равна длине бокового ребра. Большая диагональ призмы $D_1$ образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией диагонали $D_1$ на основание является большая диагональ ромба $d_1$. Диагональ $D_1$, ее проекция $d_1$ и высота призмы $h$ образуют прямоугольный треугольник.

Из этого треугольника можем найти высоту призмы $h$:

$\tan\beta = \frac{h}{d_1} \implies h = d_1 \tan\beta = 2a\cos\frac{\alpha}{2}\tan\beta$

Теперь мы можем найти обе диагонали призмы.

Большая диагональ призмы

В том же прямоугольном треугольнике, образованном $D_1$, $d_1$ и $h$, большая диагональ призмы $D_1$ является гипотенузой. Тогда:

$\cos\beta = \frac{d_1}{D_1} \implies D_1 = \frac{d_1}{\cos\beta}$

Подставляя найденное значение $d_1$, получаем:

$D_1 = \frac{2a\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\beta}$

Ответ: $\frac{2a\cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos\beta}$.

Меньшая диагональ призмы

Меньшая диагональ призмы $D_2$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются меньшая диагональ основания $d_2$ и высота призмы $h$. По теореме Пифагора:

$D_2^2 = d_2^2 + h^2$

Подставляем выражения для $d_2$ и $h$:

$D_2^2 = \left(2a\sin\frac{\alpha}{2}\right)^2 + \left(2a\cos\frac{\alpha}{2}\tan\beta\right)^2$

$D_2^2 = 4a^2\sin^2\frac{\alpha}{2} + 4a^2\cos^2\frac{\alpha}{2}\tan^2\beta$

$D_2^2 = 4a^2\left(\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}\tan^2\beta\right)$

Извлекая квадратный корень, находим $D_2$:

$D_2 = 2a\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}\tan^2\beta}$

Ответ: $2a\sqrt{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2})\tan^2\beta}$.

19.11. Основанием прямой призмы, диагонали которой равны 10 см и 16 см, является ромб. Найдите сторону основания призмы, если её высота равна 4 см.

Пусть $h$ – высота прямой призмы, $D_1$ и $D_2$ – диагонали призмы, $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба, лежащего в основании, и $a$ – сторона ромба.Из условия задачи имеем: $h = 4$ см, $D_1 = 10$ см, $D_2 = 16$ см.

Диагональ призмы, ее проекция на основание (которая является диагональю основания) и боковое ребро (которое равно высоте призмы) образуют прямоугольный треугольник.Следовательно, мы можем записать соотношения по теореме Пифагора:$D_1^2 = h^2 + d_1^2$$D_2^2 = h^2 + d_2^2$

Найдем квадраты длин диагоналей основания $d_1$ и $d_2$.Для первой диагонали:$10^2 = 4^2 + d_1^2$$100 = 16 + d_1^2$$d_1^2 = 100 - 16 = 84$

Для второй диагонали:$16^2 = 4^2 + d_2^2$$256 = 16 + d_2^2$$d_2^2 = 256 - 16 = 240$

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза является стороной ромба $a$.Для стороны ромба $a$ справедливо следующее соотношение (из теоремы Пифагора):$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$Это равенство можно переписать в виде:$4a^2 = d_1^2 + d_2^2$

Подставим найденные значения $d_1^2$ и $d_2^2$ в формулу:$4a^2 = 84 + 240$$4a^2 = 324$$a^2 = \frac{324}{4}$$a^2 = 81$$a = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

19.12. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$. Через прямую $CC_1$ проведена плоскость, перпендикулярная прямой $AB$ и пересекающая ребро $AB$ в точке $D$. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если $AD = 18$ см, $BD = 2$ см, а высота призмы равна 8 см.

По условию задачи, основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$. Высота призмы равна длине бокового ребра $CC_1 = 8$ см.

Через боковое ребро $CC_1$ проведена секущая плоскость, которая перпендикулярна гипотенузе $AB$ и пересекает ее в точке $D$. Эта же плоскость пересекает верхнее ребро $A_1B_1$ в точке $D_1$. Образовавшееся сечение представляет собой четырехугольник $CDD_1C_1$.

Определим форму этого сечения:
1. Призма является прямой, поэтому ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Поскольку отрезок $CD$ лежит в плоскости основания, то $CC_1 \perp CD$. Следовательно, $\angle C_1CD = 90^\circ$.
2. По условию, секущая плоскость перпендикулярна прямой $AB$. Так как прямая $CD$ лежит в секущей плоскости и пересекает $AB$, то $CD \perp AB$. Это означает, что $CD$ является высотой прямоугольного треугольника $ABC$, опущенной на гипотенузу.
3. Основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны. Секущая плоскость пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым, следовательно, $CD \parallel C_1D_1$.
4. Так как призма прямая, боковые ребра параллельны и равны. Отрезок $DD_1$ соединяет линии пересечения на основаниях, поэтому $DD_1 \parallel CC_1$ и $DD_1 = CC_1$.
Из этих свойств следует, что сечение $CDD_1C_1$ — это прямоугольник, так как является параллелограммом с прямым углом.

Площадь прямоугольника $CDD_1C_1$ равна произведению его смежных сторон:

$S_{сеч} = CD \cdot CC_1$

Длина $CC_1$ нам известна, это высота призмы, равная 8 см. Необходимо найти длину высоты $CD$ треугольника $ABC$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу. Эти отрезки — $AD$ и $BD$.

По условию, $AD = 18$ см и $BD = 2$ см.

Используем метрическое соотношение в прямоугольном треугольнике:

$CD^2 = AD \cdot BD$

$CD^2 = 18 \cdot 2 = 36$ см$^2$

$CD = \sqrt{36} = 6$ см

Теперь мы можем вычислить площадь сечения:

$S_{сеч} = CD \cdot CC_1 = 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$

Ответ: $48$ см$^2$.

19.13. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$, отрезок $CM$ — медиана треугольника $ABC$. Высота призмы равна гипотенузе её основания. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через прямые $CC_1$ и $CM$, если $AC = 30$ см, $BC = 40$ см.

Секущая плоскость проходит через две пересекающиеся прямые $CC_1$ и $CM$. Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Прямая $CM$ лежит в плоскости основания, следовательно, $CC_1 \perp CM$. Это означает, что угол между прямыми $CC_1$ и $CM$ равен $90^\circ$.
Плоскость сечения пересекает верхнее основание $A_1B_1C_1$ по прямой, проходящей через точку $C_1$ параллельно $CM$. Пусть эта прямая пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $M_1$. Тогда сечением является четырехугольник $CMM_1C_1$.
Так как $CM \parallel C_1M_1$ (как линии пересечения двух параллельных плоскостей оснований третьей плоскостью) и $CC_1 \parallel MM_1$ (поскольку $M$ и $M_1$ - середины соответственных ребер $AB$ и $A_1B_1$ в прямой призме), то сечение $CMM_1C_1$ является параллелограммом. А поскольку угол $\angle MCC_1 = 90^\circ$, этот параллелограмм является прямоугольником.
Площадь этого прямоугольника $S$ равна произведению длин его смежных сторон $CM$ и $CC_1$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ в основании, которое является прямоугольным треугольником $ABC$ с катетами $AC = 30$ см и $BC = 40$ см. По теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ см.

2. По условию задачи, высота призмы равна гипотенузе ее основания. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра, т.е. $H = CC_1$.
$CC_1 = AB = 50$ см.

3. Отрезок $CM$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе в прямоугольном треугольнике $ABC$. По свойству такой медианы, ее длина равна половине длины гипотенузы:
$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25$ см.

4. Теперь можем найти площадь сечения, которое является прямоугольником $CMM_1C_1$ со сторонами $CM$ и $CC_1$ :
$S = CM \cdot CC_1 = 25 \text{ см} \cdot 50 \text{ см} = 1250 \text{ см}^2$.

Ответ: $1250$ см$^2$.

19.14. Каждое ребро правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно $a$. Найдите:

1) площадь сечения призмы, проходящего через точки $A$, $B$ и $C_1$;

2) угол между плоскостью данного сечения и плоскостью основания призмы.

1) По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ – правильная, значит, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Каждое ребро призмы равно $a$. Это означает, что стороны основания $AB = BC = CA = a$ и высота призмы (длина боковых ребер) $AA_1 = BB_1 = CC_1 = a$.

Сечение, проходящее через точки $A$, $B$ и $C_1$, представляет собой треугольник $ABC_1$. Найдем его площадь. Для этого сначала определим длины его сторон.

Сторона $AB$ является стороной основания, поэтому ее длина $AB = a$.

Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $AA_1C_1C$. Так как призма правильная, эта грань – квадрат со стороной $a$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:
$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Аналогично, сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BB_1C_1C$, которая также является квадратом со стороной $a$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:
$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $ABC_1$ является равнобедренным с основанием $AB = a$ и боковыми сторонами $AC_1 = BC_1 = a\sqrt{2}$.

Для нахождения площади этого треугольника проведем высоту $C_1M$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой, поэтому точка $M$ – середина отрезка $AB$, и $AM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC_1$. По теореме Пифагора найдем высоту $C_1M$:
$C_1M = \sqrt{AC_1^2 - AM^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{2a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{8a^2 - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC_1$ (площадь сечения):
$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{7}}{2} = \frac{a^2\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{7}}{4}$

2) Угол между плоскостью сечения $(ABC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ – это двугранный угол между этими плоскостями. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AB$.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого в точке $M$ на ребре $AB$ (середине $AB$) проведем два перпендикуляра к $AB$, лежащие в указанных плоскостях.

В плоскости основания $(ABC)$ проведем медиану $CM$ в равностороннем треугольнике $ABC$. Медиана в равностороннем треугольнике является также и высотой, следовательно, $CM \perp AB$. Длина $CM$ как высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В плоскости сечения $(ABC_1)$ мы уже провели высоту $C_1M$ к стороне $AB$, так что $C_1M \perp AB$.

Следовательно, линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC_1)$ и $(ABC)$ является угол $\angle CMC_1$. Обозначим его как $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $CMC_1$. Поскольку призма правильная, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Значит, $CC_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CM$. Таким образом, треугольник $CMC_1$ – прямоугольный с прямым углом $\angle C_1CM = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике нам известны длины катетов: $CC_1 = a$ (длина бокового ребра) и $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (высота основания).

Найдем тангенс угла $\alpha = \angle CMC_1$:
$\tan(\alpha) = \frac{CC_1}{CM} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, искомый угол $\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Другой способ выразить ответ — через косинус. Гипотенуза $C_1M$ была найдена в пункте 1): $C_1M = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.
$\cos(\alpha) = \frac{CM}{C_1M} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.
Тогда угол $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$