Номер 19.8, страница 207 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.8. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $a$, а угол между диагональю призмы и боковой гранью равен $30^\circ$. Найдите:

1) высоту призмы;

2) угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$, то есть $AB = BC = CD = DA = a$. Высота призмы равна $H = AA_1 = CC_1$.

1) высоту призмы;

Найдем высоту призмы $H$. По условию, угол между диагональю призмы и боковой гранью равен $30^{\circ}$. Возьмем диагональ $AC_1$ и боковую грань $DCC_1D_1$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Найдем проекцию диагонали $AC_1$ на плоскость грани $(DCC_1D_1)$.

Для этого спроецируем концы отрезка $A$ и $C_1$ на эту плоскость.

• Точка $C_1$ уже лежит в плоскости $(DCC_1D_1)$, поэтому ее проекцией является она сама.
• Так как призма правильная, ее основание $ABCD$ — квадрат, а боковые ребра перпендикулярны основанию. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DC$ ($AD \perp DC$) и ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DD_1$ ($AD \perp DD_1$). Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым в плоскости, перпендикулярна самой плоскости. Значит, $AD \perp (DCC_1D_1)$. Таким образом, проекцией точки $A$ на плоскость $(DCC_1D_1)$ является точка $D$.

Следовательно, проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $(DCC_1D_1)$ является отрезок $DC_1$. Угол между диагональю $AC_1$ и ее проекцией $DC_1$ — это угол $\angle AC_1D$. По условию, $\angle AC_1D = 30^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1D$. Поскольку $AD \perp (DCC_1D_1)$, то $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $DC_1$. Значит, $\triangle AC_1D$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AC_1D$ катет $AD = a$, а противолежащий ему угол $\angle AC_1D = 30^{\circ}$. Найдем длину катета $DC_1$:
$\text{tg}(\angle AC_1D) = \frac{AD}{DC_1} \implies DC_1 = \frac{AD}{\text{tg}(30^{\circ})} = \frac{a}{1/\sqrt{3}} = a\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим грань $DCC_1D_1$, которая является прямоугольником. Диагональ этого прямоугольника — $DC_1$. Треугольник $\triangle DCC_1$ — прямоугольный ($\angle C = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора:
$DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2$
$(a\sqrt{3})^2 = a^2 + H^2$
$3a^2 = a^2 + H^2$
$H^2 = 3a^2 - a^2 = 2a^2$
$H = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Ответ: $a\sqrt{2}$.

2) угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

Найдем угол между диагональю призмы $AC_1$ и плоскостью основания $(ABCD)$. Этот угол — это угол между прямой $AC_1$ и ее проекцией на плоскость $(ABCD)$.

Проекцией точки $A$ на плоскость основания является сама точка $A$.
Проекцией точки $C_1$ на плоскость основания является точка $C$, так как боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию.
Следовательно, проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания $(ABCD)$ является диагональ основания $AC$.

Искомый угол — это $\angle C_1AC$. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle C_1AC$. Так как $CC_1 \perp (ABCD)$, то $CC_1 \perp AC$. Следовательно, $\triangle C_1AC$ — прямоугольный.

В этом треугольнике:

• Катет $CC_1$ — это высота призмы, $CC_1 = H = a\sqrt{2}$ (из пункта 1).
• Катет $AC$ — это диагональ квадрата $ABCD$. Из прямоугольного треугольника $\triangle ADC$ по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Найдем тангенс угла $\alpha$:
$\text{tg}(\alpha) = \frac{CC_1}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$.
Если $\text{tg}(\alpha) = 1$, то $\alpha = 45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$.