Номер 19.15, страница 208 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.15. Прямоугольный треугольник $ABC$ $(\angle ACB = 90^\circ)$ является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$. Плоскость, проходящая через прямую $AC$, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$ и пересекает ребро $BB_1$ в точке $D$. Найдите площадь образовавшегося сечения, если $\angle BAC = \alpha$, $BD = a$.

По условию, секущая плоскость проходит через прямую $AC$ и точку $D$ на ребре $BB_1$. Следовательно, искомое сечение — это треугольник $ADC$.

Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ — прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. В частности, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Поскольку точка $D$ лежит на ребре $BB_1$, отрезок $DB$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$ и, следовательно, перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$. Таким образом, $DB \perp BC$, и треугольник $DBC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DBC = 90^\circ$.

В основании призмы лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle ACB = 90^\circ$, что означает $BC \perp AC$. Так как $BC$ является ортогональной проекцией наклонной $DC$ на плоскость основания $(ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах, если проекция $BC$ перпендикулярна прямой $AC$, то и наклонная $DC$ перпендикулярна $AC$. Следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$, и треугольник $ADC$ также является прямоугольным.

Угол между плоскостью сечения $(ADC)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол, ребром которого является прямая $AC$. Для нахождения его линейного угла нужно построить перпендикуляры к ребру $AC$ в каждой из плоскостей. Мы уже установили, что $BC \perp AC$ в плоскости $(ABC)$ и $DC \perp AC$ в плоскости $(ADC)$. Значит, $\angle DCB$ является линейным углом данного двугранного угла. По условию, этот угол равен $\beta$, то есть $\angle DCB = \beta$.

Площадь искомого сечения, которым является прямоугольный треугольник $ADC$, вычисляется по формуле $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC$. Для нахождения площади необходимо определить длины катетов $AC$ и $DC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DBC$ ($\angle DBC = 90^\circ$). В нем известны катет $BD = a$ и прилежащий к катету $BC$ угол $\angle DCB = \beta$. Найдем катет $BC$ и гипотенузу $DC$:
Из $\tan(\beta) = \frac{BD}{BC}$, получаем $BC = \frac{BD}{\tan(\beta)} = a \cot(\beta)$.
Из $\sin(\beta) = \frac{BD}{DC}$, получаем $DC = \frac{BD}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(\beta)}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ в основании ($\angle ACB = 90^\circ$). В нем известны угол $\angle BAC = \alpha$ и катет $BC = a \cot(\beta)$. Найдем второй катет $AC$:
Из $\tan(\alpha) = \frac{BC}{AC}$, получаем $AC = \frac{BC}{\tan(\alpha)} = \frac{a \cot(\beta)}{\tan(\alpha)} = a \cot(\alpha) \cot(\beta)$.

Подставим найденные выражения для $AC$ и $DC$ в формулу для площади треугольника $ADC$:
$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot (a \cot(\alpha) \cot(\beta)) \cdot \left(\frac{a}{\sin(\beta)}\right) = \frac{a^2 \cot(\alpha) \cot(\beta)}{2 \sin(\beta)}$.

Упростим полученное выражение, используя тождество $\cot(\beta) = \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)}$:
$S_{ADC} = \frac{a^2 \cot(\alpha) \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)}}{2 \sin(\beta)} = \frac{a^2 \cot(\alpha) \cos(\beta)}{2 \sin^2(\beta)}$.

Ответ: $\frac{a^2 \cot(\alpha) \cos(\beta)}{2 \sin^2(\beta)}$