Номер 19.20, страница 208 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.20. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 5 см, а диагональ боковой грани — 4 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной четырёхугольной призмы, а $h$ — её высота. Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат, а боковые грани — прямоугольники.

Рассмотрим боковую грань. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ боковой грани $d_{грани}$ равна 4 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $h$ и диагональю $d_{грани}$, имеем:

$a^2 + h^2 = d_{грани}^2$

$a^2 + h^2 = 4^2 = 16$ (1)

Теперь рассмотрим диагональ призмы $D$, которая равна 5 см. Диагональ призмы, её высота $h$ и диагональ основания $d_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$D^2 = h^2 + d_{осн}^2$

Основание призмы — квадрат со стороной $a$. Квадрат его диагонали $d_{осн}^2$ равен:

$d_{осн}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Подставим это выражение в формулу для диагонали призмы:

$D^2 = h^2 + 2a^2$

$5^2 = h^2 + 2a^2$

$25 = 2a^2 + h^2$ (2)

Получили систему из двух уравнений (1) и (2):

$\begin{cases} a^2 + h^2 = 16 \\ 2a^2 + h^2 = 25 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(2a^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 25 - 16$

$a^2 = 9$

$a = 3$ см (так как длина стороны — положительная величина).

Подставим найденное значение $a^2$ в первое уравнение, чтобы найти $h^2$:

$9 + h^2 = 16$

$h^2 = 16 - 9 = 7$

$h = \sqrt{7}$ см.

Теперь найдём площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$. Она равна сумме площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания (квадрата):

$S_{осн} = a^2 = 3^2 = 9$ см².

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей четырёх одинаковых боковых граней. Она также равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 3 = 12$ см.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 12 \cdot \sqrt{7} = 12\sqrt{7}$ см².

Вычисляем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot 9 + 12\sqrt{7} = 18 + 12\sqrt{7}$ см².

Ответ: $18 + 12\sqrt{7}$ см².