Номер 19.26, страница 209 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.26. В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ площадь треугольника $ABC_1$ равна $S$. Плоскость $ABC_1$ образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ — заданная правильная призма. Это означает, что её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований.

Обозначим длину стороны основания за $a$ ($AB=BC=CA=a$), а высоту призмы (длину бокового ребра) за $h$ ($AA_1=h$).Площадь боковой поверхности призмы, $S_{бок}$, равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания $P_{ABC} = 3a$.Следовательно, $S_{бок} = P_{ABC} \cdot h = 3ah$.Наша задача — выразить $3ah$ через известные величины $S$ и $\alpha$.

Угол между плоскостью сечения $(ABC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол. Его линейной мерой является угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения этих плоскостей ($AB$) в одной точке.

1. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CM$ к стороне $AB$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, $CM$ также является медианой, т.е. $M$ — середина $AB$. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Поскольку призма прямая, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости. В частности, $CC_1 \perp AB$. Также мы знаем, что $CM \perp AB$. Так как $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CM$ и $CC_1$) в плоскости $(CMC_1)$, то $AB$ перпендикулярна всей этой плоскости.

3. Прямая $C_1M$ лежит в плоскости $(CMC_1)$, следовательно, $C_1M \perp AB$.

Таким образом, $CM$ и $C_1M$ — это перпендикуляры к общей прямой $AB$, проведенные в плоскостях $(ABC)$ и $(ABC_1)$ соответственно. Угол между ними, $\angle CMC_1$, и есть линейный угол двугранного угла, то есть $\angle CMC_1 = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $CMC_1$. Так как $CC_1 \perp (ABC)$, то $CC_1 \perp CM$. Следовательно, $\triangle CMC_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике:

• Катет $CC_1 = h$.
• Катет $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:$\tan \alpha = \frac{CC_1}{CM} = \frac{h}{a\sqrt{3}/2}$.Отсюда выразим высоту $h$:$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan \alpha$.

Теперь воспользуемся информацией о площади треугольника $ABC_1$. Площадь этого треугольника равна $S$. Его основание — $AB=a$, а высота, проведенная к этому основанию, — $C_1M$ (так как мы доказали, что $C_1M \perp AB$).$S = S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} a \cdot C_1M$.

Длину $C_1M$ найдем из того же прямоугольного треугольника $CMC_1$. $C_1M$ является гипотенузой.$\cos \alpha = \frac{CM}{C_1M} \Rightarrow C_1M = \frac{CM}{\cos \alpha} = \frac{a\sqrt{3}/2}{\cos \alpha} = \frac{a\sqrt{3}}{2\cos \alpha}$.

Подставим это выражение для $C_1M$ в формулу площади $S$:$S = \frac{1}{2} a \left(\frac{a\sqrt{3}}{2\cos \alpha}\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4\cos \alpha}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений, связывающих $a$ и $h$ с $S$ и $\alpha$. Нам нужно найти $S_{бок} = 3ah$.Выразим $a^2$ из формулы для $S$:$a^2 = \frac{4S\cos \alpha}{\sqrt{3}}$.

Теперь преобразуем формулу для площади боковой поверхности:$S_{бок} = 3ah = 3a \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} \tan \alpha\right) = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \tan \alpha$.

Подставим в это выражение найденное значение для $a^2$:$S_{бок} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{4S\cos \alpha}{\sqrt{3}}\right) \tan \alpha$.

Сократим $\sqrt{3}$ и преобразуем, используя $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:$S_{бок} = \frac{3}{2} (4S\cos \alpha) \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 6S\cos \alpha \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 6S \sin \alpha$.

Ответ: $6S \sin \alpha$