Номер 19.29, страница 209 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.29. Высота правильной четырёхугольной призмы равна $h$. В двух соседних боковых гранях проведены две диагонали, имеющие общий конец. Найдите площадь сечения, проходящего через данные диагонали, если угол между ними равен $\alpha$.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, а боковые грани — прямоугольниками, перпендикулярными основаниям. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = h$. Обозначим сторону основания за $a$, то есть $AB = BC = a$.

В условии говорится о двух диагоналях, проведенных в двух соседних боковых гранях и имеющих общий конец. Возьмем соседние грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ и их общий конец — вершину $B_1$. Тогда диагоналями будут отрезки $AB_1$ и $CB_1$.

Сечение, проходящее через данные диагонали, представляет собой треугольник $AB_1C$. По условию, угол между этими диагоналями равен $\alpha$, что означает $\angle AB_1C = \alpha$.

Для нахождения площади треугольника $AB_1C$ воспользуемся формулой:$S = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \sin(\angle AB_1C) = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \sin(\alpha)$.

Найдем длины сторон $AB_1$ и $CB_1$.Боковая грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником со сторонами $AB=a$ и $BB_1=h$. Диагональ $AB_1$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника $ABB_1$. По теореме Пифагора:$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = a^2 + h^2$.

Аналогично, боковая грань $BCC_1B_1$ — это прямоугольник со сторонами $BC=a$ и $BB_1=h$. Диагональ $CB_1$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника $CBB_1$. По теореме Пифагора:$CB_1^2 = BC^2 + BB_1^2 = a^2 + h^2$.

Следовательно, $AB_1 = CB_1 = \sqrt{a^2 + h^2}$, а треугольник $AB_1C$ — равнобедренный.Подставим полученные длины в формулу площади:$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (a^2 + h^2) \sin(\alpha)$.

Эта формула содержит неизвестную нам величину $a$. Чтобы выразить площадь только через известные параметры $h$ и $\alpha$, необходимо найти связь между $a$, $h$ и $\alpha$. Для этого рассмотрим третью сторону треугольника $AB_1C$ — отрезок $AC$. $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании. Из прямоугольного треугольника $ABC$ находим:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $AB_1C$:$AC^2 = AB_1^2 + CB_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \cos(\angle AB_1C)$.Подставляем известные выражения для сторон:$2a^2 = (a^2 + h^2) + (a^2 + h^2) - 2 \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \cos(\alpha)$.$2a^2 = 2(a^2 + h^2) - 2(a^2 + h^2) \cos(\alpha)$.$2a^2 = 2(a^2 + h^2)(1 - \cos(\alpha))$.$a^2 = (a^2 + h^2)(1 - \cos(\alpha))$.

Нам нужно выразить $(a^2 + h^2)$ через $h$ и $\alpha$. Преобразуем полученное равенство:$a^2 = a^2 + h^2 - (a^2 + h^2)\cos(\alpha)$.$0 = h^2 - (a^2 + h^2)\cos(\alpha)$.$(a^2 + h^2)\cos(\alpha) = h^2$.Отсюда получаем выражение для $(a^2 + h^2)$:$a^2 + h^2 = \frac{h^2}{\cos(\alpha)}$.(Это равенство имеет смысл только при $\cos(\alpha) > 0$, что означает, что угол $\alpha$ должен быть острым).

Теперь подставим это выражение в формулу для площади сечения:$S = \frac{1}{2} (a^2 + h^2) \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{h^2}{\cos(\alpha)} \cdot \sin(\alpha)$.

Используя тригонометрическое тождество $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, упростим выражение:$S = \frac{h^2}{2} \tan(\alpha)$.

Ответ: $S = \frac{h^2}{2} \tan(\alpha)$.