Номер 19.31, страница 209 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.31. Каждое ребро наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ равно $a$. Ребро $AA_1$ образует с каждым из рёбер $AB$ и $AC$ угол, равный $45^\circ$.

1) Докажите, что $AA_1 \perp BC$.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1) Докажите, что $AA_1 \perp BC$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем векторы, соответствующие ребрам призмы, выходящим из вершины A: $\vec{AA_1}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

По условию задачи, все ребра призмы равны $a$. Следовательно, длины (модули) этих векторов равны $a$:
$|\vec{AA_1}| = a$, $|\vec{AB}| = a$, $|\vec{AC}| = a$.

Также по условию, ребро $AA_1$ образует с каждым из ребер $AB$ и $AC$ угол, равный $45^\circ$. Это означает, что угол между соответствующими векторами также равен $45^\circ$:
$\angle(\vec{AA_1}, \vec{AB}) = 45^\circ$
$\angle(\vec{AA_1}, \vec{AC}) = 45^\circ$

Чтобы доказать перпендикулярность прямых $AA_1$ и $BC$, необходимо и достаточно показать, что скалярное произведение их направляющих векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC}$ равно нулю.

Выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы с общим началом в точке A: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC}$:
$\vec{AA_1} \cdot \vec{BC} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{AC} - \vec{AA_1} \cdot \vec{AB}$.

Используя определение скалярного произведения ($\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами), вычислим каждое слагаемое: $\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(45^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$. $\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(45^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Подставим полученные значения в выражение для скалярного произведения: $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} - \frac{a^2\sqrt{2}}{2} = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BC$ также перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) равна сумме площадей ее боковых граней: $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $CAA_1C_1$. Поскольку все ребра призмы равны $a$, каждая боковая грань является ромбом со стороной $a$. Площадь ромба можно найти по формуле $S = s_1 s_2 \sin\beta$, где $s_1$ и $s_2$ — смежные стороны, а $\beta$ — угол между ними.

1. Площадь грани $ABB_1A_1$. Стороны $AB=a$, $AA_1=a$. Угол между ними $\angle A_1AB = 45^\circ$. $S_{ABB_1A_1} = a \cdot a \cdot \sin(45^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Площадь грани $CAA_1C_1$. Стороны $AC=a$, $AA_1=a$. Угол между ними $\angle A_1AC = 45^\circ$. $S_{CAA_1C_1} = a \cdot a \cdot \sin(45^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Площадь грани $BCC_1B_1$. Стороны $BC=a$, $BB_1=a$. Боковое ребро $BB_1$ параллельно и равно ребру $AA_1$. Следовательно, угол между сторонами $BC$ и $BB_1$ равен углу между прямыми $BC$ и $AA_1$. В пункте 1) мы доказали, что $AA_1 \perp BC$, значит, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, грань $BCC_1B_1$ является квадратом. $S_{BCC_1B_1} = a \cdot a \cdot \sin(90^\circ) = a \cdot a \cdot 1 = a^2$.

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности, сложив площади всех боковых граней: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{CAA_1C_1} + S_{BCC_1B_1} = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2} + a^2 \frac{\sqrt{2}}{2} + a^2$. $S_{бок} = a^2\sqrt{2} + a^2 = a^2(1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $a^2(1 + \sqrt{2})$.