Номер 19.24, страница 209 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.24. Двугранный угол при одном из боковых рёбер наклонной треугольной призмы равен $120^\circ$. Расстояние от данного ребра до одного из остальных боковых рёбер равно 16 см, а до другого — 14 см. Найдите боковое ребро призмы, если площадь её боковой поверхности равна $840\text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{п.с.} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{п.с.}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы. Перпендикулярное сечение — это многоугольник, плоскость которого перпендикулярна боковым рёбрам.

Из данной формулы можно выразить длину бокового ребра: $l = \frac{S_{бок}}{P_{п.с.}}$.

По условию задачи, площадь боковой поверхности призмы составляет $S_{бок} = 840 \text{ см}^2$. Для нахождения длины бокового ребра $l$ необходимо определить периметр перпендикулярного сечения.

Перпендикулярным сечением данной наклонной треугольной призмы является треугольник. Обозначим его вершины $A$, $B$ и $C$.

Линейный угол двугранного угла при боковом ребре призмы равен углу в перпендикулярном сечении при соответствующей вершине. По условию, двугранный угол при одном из рёбер равен $120°$. Пусть это ребро пересекает перпендикулярное сечение в вершине $A$. Тогда угол в треугольнике сечения $\angle A = 120°$.

Расстояние между двумя параллельными боковыми рёбрами равно длине соответствующей стороны перпендикулярного сечения. Расстояние от ребра, проходящего через точку $A$, до двух других рёбер, проходящих через $B$ и $C$, равны 16 см и 14 см. Это означает, что длины сторон перпендикулярного сечения, выходящих из вершины $A$, равны $AB = 16$ см и $AC = 14$ см.

Таким образом, мы имеем перпендикулярное сечение — треугольник $ABC$, в котором известны две стороны и угол между ними. Третью сторону $BC$ можно найти по теореме косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения в формулу:

$BC^2 = 16^2 + 14^2 - 2 \cdot 16 \cdot 14 \cdot \cos(120°)$

Зная, что $\cos(120°) = -0.5$, производим вычисления:

$BC^2 = 256 + 196 - 2 \cdot 16 \cdot 14 \cdot (-0.5)$

$BC^2 = 452 + 16 \cdot 14$

$BC^2 = 452 + 224 = 676$

Отсюда находим длину стороны $BC$:

$BC = \sqrt{676} = 26$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр перпендикулярного сечения $P_{п.с.}$, сложив длины всех его сторон:

$P_{п.с.} = AB + AC + BC = 16 + 14 + 26 = 56$ см.

Наконец, находим искомую длину бокового ребра $l$:

$l = \frac{S_{бок}}{P_{п.с.}} = \frac{840}{56} = 15$ см.

Ответ: 15 см.