Номер 19.23, страница 208 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.23. Плоскости граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ перпендикулярны, $AA_1 = 9$ см. Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 8 см, а между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ — 15 см.

Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{перп} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{перп}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы.

Из условия задачи известно, что длина бокового ребра $l = AA_1 = 9$ см.

Для нахождения площади боковой поверхности необходимо найти периметр перпендикулярного сечения. Перпендикулярное сечение — это многоугольник, полученный при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам.

Построим такое сечение. Возьмем на ребре $AA_1$ точку $K$ и проведём через неё плоскость, перпендикулярную $AA_1$. Эта плоскость пересечёт боковые грани призмы по треугольнику $KLM$, где $L$ лежит на ребре $BB_1$, а $M$ — на ребре $CC_1$. Треугольник $KLM$ является перпендикулярным сечением призмы.

По определению, стороны сечения перпендикулярны боковым рёбрам. Отрезок $KL$ соединяет ребра $AA_1$ и $BB_1$ и перпендикулярен им, следовательно, его длина равна расстоянию между этими рёбрами. По условию, $KL = 8$ см.

Аналогично, отрезок $KM$ соединяет рёбра $AA_1$ и $CC_1$ и перпендикулярен им, следовательно, его длина равна расстоянию между этими рёбрами. По условию, $KM = 15$ см.

По условию, плоскости граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ взаимно перпендикулярны. Отрезок $KL$ лежит в плоскости $(AA_1B_1B)$, а отрезок $KM$ — в плоскости $(AA_1C_1C)$. Поскольку оба отрезка перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей (ребру $AA_1$), угол между ними, $\angle LKM$, равен двугранному углу между данными плоскостями, то есть $90^\circ$.

Таким образом, перпендикулярное сечение $KLM$ является прямоугольным треугольником с катетами $KL = 8$ см и $KM = 15$ см.

Найдём гипотенузу $LM$ по теореме Пифагора:

$LM^2 = KL^2 + KM^2$

$LM^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$LM = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь вычислим периметр перпендикулярного сечения $P_{перп}$:

$P_{перп} = KL + KM + LM = 8 + 15 + 17 = 40$ см.

Наконец, найдём площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{перп} \cdot l = 40 \cdot 9 = 360$ см².

Ответ: 360 см².