Номер 19.16, страница 208 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.16. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$, большая диагональ ромба равна $d$. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания провели плоскость, образующую с плоскостью нижнего основания призмы угол $\beta$. Найдите:

1) высоту призмы;

2) площадь образовавшегося сечения призмы.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит ромб $ABCD$. Острый угол ромба $\angle BAD = \alpha$. Большая диагональ ромба $AC = d$, следовательно, она соединяет вершины острых углов.

Сечение призмы проходит через меньшую диагональ нижнего основания $BD$ и вершину острого угла верхнего основания, например $A_1$. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $BDA_1$.

Плоскость сечения образует с плоскостью нижнего основания угол $\beta$. Угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом, который является углом между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения в одной точке. Линия пересечения плоскостей — диагональ $BD$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. В ромбе диагонали перпендикулярны, следовательно, $AO \perp BD$.

Поскольку призма прямая, ее боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит $AA_1 \perp AO$. Следовательно, треугольник $A_1AO$ — прямоугольный.

$AO$ является проекцией наклонной $A_1O$ на плоскость основания. Так как проекция $AO$ перпендикулярна прямой $BD$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $A_1O$ перпендикулярна $BD$.

Таким образом, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен углу между перпендикулярами $A_1O$ и $AO$ к общей прямой $BD$, то есть $\angle A_1OA = \beta$.

Рассмотрим свойства ромба $ABCD$. Диагонали в точке пересечения делятся пополам, поэтому $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{d}{2}$. Диагонали также являются биссектрисами углов, поэтому $\angle BAO = \frac{\alpha}{2}$.

1) высоту призмы

Высота призмы $H$ равна длине бокового ребра $AA_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AO$ (с прямым углом $A$). Из определения тангенса угла имеем: $\tan(\angle A_1OA) = \frac{AA_1}{AO}$, что эквивалентно $\tan(\beta) = \frac{H}{AO}$.

Отсюда выразим высоту $H$: $H = AO \cdot \tan(\beta)$.

Подставим известное значение $AO = \frac{d}{2}$: $H = \frac{d}{2} \tan(\beta)$.

Ответ: $\frac{d}{2} \tan(\beta)$

2) площадь образовавшегося сечения призмы

Площадь сечения $S$ — это площадь треугольника $BDA_1$. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

В качестве основания возьмем диагональ $BD$, а в качестве высоты — отрезок $A_1O$ (мы доказали, что $A_1O \perp BD$). Таким образом, $S = \frac{1}{2} BD \cdot A_1O$.

Найдем длину $BD$. Из прямоугольного треугольника $AOB$ ($\angle AOB=90^\circ$): $\tan(\angle BAO) = \frac{OB}{AO}$, откуда $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{OB}{d/2}$, и $OB = \frac{d}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Поскольку $BD = 2 \cdot OB$, то $BD = 2 \cdot \frac{d}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) = d \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь найдем длину высоты $A_1O$ из прямоугольного треугольника $A_1AO$: $\cos(\angle A_1OA) = \frac{AO}{A_1O}$. Отсюда $\cos(\beta) = \frac{d/2}{A_1O}$, и $A_1O = \frac{d/2}{\cos(\beta)} = \frac{d}{2\cos(\beta)}$.

Подставим найденные значения $BD$ и $A_1O$ в формулу для площади сечения: $S = \frac{1}{2} \cdot \left(d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{d}{2\cos(\beta)}\right) = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4\cos(\beta)}$.

Можно проверить результат, используя формулу площади ортогональной проекции. Проекцией сечения $BDA_1$ на плоскость основания является треугольник $BDA$. Его площадь $S_{BDA} = S \cdot \cos(\beta)$. $S_{BDA} = \frac{1}{2} BD \cdot AO = \frac{1}{2} \cdot \left(d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{d}{2}\right) = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4}$. Тогда $S = \frac{S_{BDA}}{\cos(\beta)} = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4\cos(\beta)}$. Результаты совпали.

Ответ: $\frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4\cos(\beta)}$