Номер 19.17, страница 208 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.17. Сторона основания правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 2 см, а боковое ребро — 6 см. Диагонали боковой грани $AA_1B_1B$ пересекаются в точке $D$. Найдите угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$.

По условию задачи дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что ее основаниями являются равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. Сторона основания равна $AB = BC = CA = 2$ см, а боковое ребро $AA_1 = 6$ см.

Боковая грань $AA_1B_1B$ является прямоугольником. Точка $D$ — это точка пересечения диагоналей $A_1B$ и $AB_1$ этого прямоугольника. В прямоугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, следовательно, точка $D$ является серединой каждой из диагоналей.

Угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$ — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Для нахождения этого угла необходимо найти проекцию прямой $CD$ на плоскость $ABC$. Так как точка $C$ уже лежит в этой плоскости, нам достаточно найти проекцию точки $D$ на плоскость $ABC$.

Опустим перпендикуляр из точки $D$ на плоскость $ABC$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Рассмотрим грань $AA_1B_1B$. Так как $D$ — середина диагонали $A_1B$, то ее проекция на плоскость $ABC$ будет лежать на проекции отрезка $A_1B$. Проекцией отрезка $A_1B$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AB$.

Пусть $H$ — середина отрезка $AB$. В треугольнике $A_1AB$ отрезок $DH$ соединяет середины сторон $A_1B$ и $AB$. Следовательно, $DH$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $DH$ параллельна стороне $AA_1$. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Значит, и $DH \perp (ABC)$. Таким образом, точка $H$ является ортогональной проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$.

Следовательно, прямая $CH$ является проекцией наклонной $CD$ на плоскость $ABC$. Искомый угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$ — это угол $\angle DCH$.

Рассмотрим треугольник $DCH$. Поскольку $DH \perp (ABC)$, а прямая $CH$ лежит в этой плоскости, то $DH \perp CH$. Таким образом, треугольник $DCH$ является прямоугольным с прямым углом $H$.

Найдем длины катетов этого треугольника.Катет $DH$ является средней линией треугольника $A_1AB$ и параллелен $AA_1$, поэтому его длина равна половине длины бокового ребра:$DH = \frac{1}{2} AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Катет $CH$ находится в основании призмы, в равностороннем треугольнике $ABC$. Так как $H$ — середина стороны $AB$, отрезок $CH$ является медианой, а следовательно, и высотой треугольника $ABC$. Длину высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.$CH = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $DCH$ известны длины обоих катетов. Мы можем найти тангенс угла $\angle DCH$:$\tan(\angle DCH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{DH}{CH} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение:$\tan(\angle DCH) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle DCH = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.