Номер 19.12, страница 207 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.12. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$. Через прямую $CC_1$ проведена плоскость, перпендикулярная прямой $AB$ и пересекающая ребро $AB$ в точке $D$. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если $AD = 18$ см, $BD = 2$ см, а высота призмы равна 8 см.

По условию задачи, основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$. Высота призмы равна длине бокового ребра $CC_1 = 8$ см.

Через боковое ребро $CC_1$ проведена секущая плоскость, которая перпендикулярна гипотенузе $AB$ и пересекает ее в точке $D$. Эта же плоскость пересекает верхнее ребро $A_1B_1$ в точке $D_1$. Образовавшееся сечение представляет собой четырехугольник $CDD_1C_1$.

Определим форму этого сечения:
1. Призма является прямой, поэтому ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Поскольку отрезок $CD$ лежит в плоскости основания, то $CC_1 \perp CD$. Следовательно, $\angle C_1CD = 90^\circ$.
2. По условию, секущая плоскость перпендикулярна прямой $AB$. Так как прямая $CD$ лежит в секущей плоскости и пересекает $AB$, то $CD \perp AB$. Это означает, что $CD$ является высотой прямоугольного треугольника $ABC$, опущенной на гипотенузу.
3. Основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны. Секущая плоскость пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым, следовательно, $CD \parallel C_1D_1$.
4. Так как призма прямая, боковые ребра параллельны и равны. Отрезок $DD_1$ соединяет линии пересечения на основаниях, поэтому $DD_1 \parallel CC_1$ и $DD_1 = CC_1$.
Из этих свойств следует, что сечение $CDD_1C_1$ — это прямоугольник, так как является параллелограммом с прямым углом.

Площадь прямоугольника $CDD_1C_1$ равна произведению его смежных сторон:

$S_{сеч} = CD \cdot CC_1$

Длина $CC_1$ нам известна, это высота призмы, равная 8 см. Необходимо найти длину высоты $CD$ треугольника $ABC$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу. Эти отрезки — $AD$ и $BD$.

По условию, $AD = 18$ см и $BD = 2$ см.

Используем метрическое соотношение в прямоугольном треугольнике:

$CD^2 = AD \cdot BD$

$CD^2 = 18 \cdot 2 = 36$ см$^2$

$CD = \sqrt{36} = 6$ см

Теперь мы можем вычислить площадь сечения:

$S_{сеч} = CD \cdot CC_1 = 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$

Ответ: $48$ см$^2$.