Номер 19.13, страница 207 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.13. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$, отрезок $CM$ — медиана треугольника $ABC$. Высота призмы равна гипотенузе её основания. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через прямые $CC_1$ и $CM$, если $AC = 30$ см, $BC = 40$ см.

Секущая плоскость проходит через две пересекающиеся прямые $CC_1$ и $CM$. Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Прямая $CM$ лежит в плоскости основания, следовательно, $CC_1 \perp CM$. Это означает, что угол между прямыми $CC_1$ и $CM$ равен $90^\circ$.
Плоскость сечения пересекает верхнее основание $A_1B_1C_1$ по прямой, проходящей через точку $C_1$ параллельно $CM$. Пусть эта прямая пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $M_1$. Тогда сечением является четырехугольник $CMM_1C_1$.
Так как $CM \parallel C_1M_1$ (как линии пересечения двух параллельных плоскостей оснований третьей плоскостью) и $CC_1 \parallel MM_1$ (поскольку $M$ и $M_1$ - середины соответственных ребер $AB$ и $A_1B_1$ в прямой призме), то сечение $CMM_1C_1$ является параллелограммом. А поскольку угол $\angle MCC_1 = 90^\circ$, этот параллелограмм является прямоугольником.
Площадь этого прямоугольника $S$ равна произведению длин его смежных сторон $CM$ и $CC_1$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ в основании, которое является прямоугольным треугольником $ABC$ с катетами $AC = 30$ см и $BC = 40$ см. По теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ см.

2. По условию задачи, высота призмы равна гипотенузе ее основания. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра, т.е. $H = CC_1$.
$CC_1 = AB = 50$ см.

3. Отрезок $CM$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе в прямоугольном треугольнике $ABC$. По свойству такой медианы, ее длина равна половине длины гипотенузы:
$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25$ см.

4. Теперь можем найти площадь сечения, которое является прямоугольником $CMM_1C_1$ со сторонами $CM$ и $CC_1$ :
$S = CM \cdot CC_1 = 25 \text{ см} \cdot 50 \text{ см} = 1250 \text{ см}^2$.

Ответ: $1250$ см$^2$.