Номер 19.18, страница 208 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.18. Сторона основания правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 1 см, а боковое ребро — $\sqrt{5}$ см. Диагонали боковой грани $CC_1D_1D$ пересекаются в точке $M$. Найдите угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — правильная призма, ее основание $ABCD$ является квадратом, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. По условию задачи сторона основания $AB = 1$ см, а боковое ребро $CC_1 = \sqrt{5}$ см.

Точка $M$ является точкой пересечения диагоналей боковой грани $CC_1D_1D$, которая представляет собой прямоугольник. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $M$ — середина диагоналей $CD_1$ и $C_1D$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Нам нужно найти угол между прямой $AM$ и плоскостью основания $ABC$.

Для нахождения этого угла построим проекцию прямой $AM$ на плоскость $ABC$.Точка $A$ лежит в плоскости $ABC$, значит, её проекция — это сама точка $A$.Для нахождения проекции точки $M$ опустим перпендикуляр $MP$ на плоскость $ABC$. Точка $P$ будет являться проекцией точки $M$.Прямая $AP$ является проекцией прямой $AM$ на плоскость $ABC$.Искомый угол — это угол $\angle MAP$ в прямоугольном треугольнике $\triangle AMP$ (прямой угол $\angle MPA$, так как $MP \perp ABC$).

Для нахождения угла $\angle MAP$ найдем длины катетов $MP$ и $AP$.1. Длина катета $MP$ равна расстоянию от точки $M$ до плоскости $ABC$. Так как $M$ — середина отрезка $C_1D$, а точки $C_1$ и $D$ находятся на расстояниях $CC_1 = \sqrt{5}$ и $0$ от плоскости $ABC$ соответственно, то расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно среднему арифметическому этих расстояний:$MP = \frac{CC_1 + 0}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Также можно отметить, что проекцией отрезка $C_1D$ на плоскость $ABC$ является отрезок $CD$. Поскольку $M$ — середина $C_1D$, ее проекция $P$ будет серединой отрезка $CD$.

2. Найдем длину катета $AP$. В плоскости основания $ABCD$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADP$ (угол $\angle D = 90^\circ$).Сторона квадрата $AD = 1$ см.Точка $P$ — середина стороны $CD$, поэтому $DP = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см.По теореме Пифагора для треугольника $\triangle ADP$:$AP^2 = AD^2 + DP^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.Следовательно, $AP = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

3. Теперь найдем тангенс искомого угла $\angle MAP$ в прямоугольном треугольнике $\triangle AMP$:$\tan(\angle MAP) = \frac{MP}{AP} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = 1$.Угол, тангенс которого равен 1, — это $45^\circ$.Таким образом, угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.