Номер 19.21, страница 208 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.21. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является равнобокая трапеция $ABCD$, основания которой $BC$ и $AD$ соответственно равны 11 см и 21 см, а боковая сторона — 13 см. Площадь диагонального сечения призмы равна 180 $\text{см}^2$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности призмы;

2) площадь сечения призмы, проходящего через рёбра $AD$ и $B_1C_1$.

1) площадь боковой поверхности призмы;

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы (длина бокового ребра).
Основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC = 11$ см, $AD = 21$ см и боковыми сторонами $AB = CD = 13$ см.
Найдем периметр основания:
$P_{осн} = AB + BC + CD + AD = 13 + 11 + 13 + 21 = 58$ см.
Чтобы найти высоту призмы $H$, воспользуемся данными о площади диагонального сечения. Диагональное сечение призмы, например $ACC_1A_1$, является прямоугольником со сторонами $AC$ (диагональ основания) и $AA_1 = H$. Его площадь равна $S_{сеч} = AC \cdot H = 180$ см².
Сначала найдем длину диагонали основания $AC$. Для этого проведем в трапеции высоту $CH'$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как трапеция равнобокая, отрезок $H'D$ можно найти по формуле:
$H'D = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
В прямоугольном треугольнике $CH'D$ по теореме Пифагора найдем высоту трапеции $h = CH'$:
$h^2 = CD^2 - H'D^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
$h = \sqrt{144} = 12$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH'$. Его катеты $CH' = 12$ см и $AH' = AD - H'D = 21 - 5 = 16$ см.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$:
$AC^2 = AH'^2 + CH'^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$.
$AC = \sqrt{400} = 20$ см.
Теперь мы можем найти высоту призмы $H$ из площади диагонального сечения:
$H = \frac{S_{сеч}}{AC} = \frac{180}{20} = 9$ см.
Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 58 \cdot 9 = 522$ см².
Ответ: 522 см².

2) площадь сечения призмы, проходящего через рёбра AD и B₁C₁;

Сечение, проходящее через рёбра $AD$ и $B_1C_1$, является четырёхугольником $AB_1C_1D$.
Поскольку рёбра $AD$ и $BC$ параллельны, а ребро $BC$ параллельно ребру $B_1C_1$ (так как основания призмы параллельны), то $AD \parallel B_1C_1$. Следовательно, сечение $AB_1C_1D$ является трапецией с основаниями $AD = 21$ см и $B_1C_1 = 11$ см.
Так как исходная трапеция $ABCD$ равнобокая ($AB=CD=13$), а призма прямая ($BB_1 \perp AB$, $CC_1 \perp CD$), то боковые стороны этой трапеции-сечения равны. Проверим это по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $ABB_1$ и $CDD_1$:
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{13^2 + 9^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250}$ см.
$DC_1 = \sqrt{DC^2 + CC_1^2} = \sqrt{13^2 + 9^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250}$ см.
Так как $AB_1 = DC_1$, трапеция $AB_1C_1D$ является равнобокой.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h_{сеч}$, где $a$ и $b$ — основания, а $h_{сеч}$ — высота трапеции.
Высотой равнобокой трапеции $AB_1C_1D$ является отрезок, соединяющий середины её оснований. Пусть $N$ — середина $AD$, а $M_1$ — середина $B_1C_1$. Тогда высота $h_{сеч} = NM_1$.
Чтобы найти длину $NM_1$, рассмотрим прямоугольный треугольник $NMM_1$, где $M$ — середина ребра $BC$. Катет $MM_1$ равен высоте призмы $H = 9$ см. Катет $NM$ — это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции $ABCD$, который является её высотой. Таким образом, $NM = h = 12$ см.
По теореме Пифагора для треугольника $NMM_1$:
$h_{сеч}^2 = NM_1^2 = NM^2 + MM_1^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
$h_{сеч} = \sqrt{225} = 15$ см.
Теперь вычислим площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{AD + B_1C_1}{2} \cdot h_{сеч} = \frac{21 + 11}{2} \cdot 15 = \frac{32}{2} \cdot 15 = 16 \cdot 15 = 240$ см².
Ответ: 240 см².