Номер 19.27, страница 209 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.27. Высота правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 6 см. Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Плоскость, которая проходит через прямые $AB$ и $DE$, образует угол $60^\circ$ с плоскостью $ABC$. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью.

Решение:

1. Построение и анализ сечения.

Призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная, значит, в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Высота призмы $h = AA_1 = 6$ см.

Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Следовательно, отрезок $DE$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$. По свойству средней линии, $DE \parallel A_1B_1$ и $DE = \frac{1}{2}A_1B_1$.

Так как призма прямая, $A_1B_1 \parallel AB$. Отсюда следует, что $DE \parallel AB$. Две параллельные прямые $AB$ и $DE$ задают единственную плоскость. Эта плоскость пересекает призму по четырёхугольнику $ABED$. Поскольку $AB \parallel DE$, $ABED$ — трапеция.

Докажем, что трапеция равнобедренная. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA_1D$ и $\triangle BB_1E$. $AA_1 = BB_1 = 6$ см. Пусть сторона основания призмы равна $a$. Тогда $A_1C_1 = B_1C_1 = a$. Так как $D$ и $E$ — середины рёбер, $A_1D = B_1E = a/2$. По теореме Пифагора:

$AD^2 = AA_1^2 + A_1D^2 = 6^2 + (a/2)^2 = 36 + a^2/4$

$BE^2 = BB_1^2 + B_1E^2 = 6^2 + (a/2)^2 = 36 + a^2/4$

Так как $AD^2 = BE^2$, то $AD = BE$. Следовательно, трапеция $ABED$ — равнобедренная.

2. Нахождение стороны основания.

Угол между плоскостью сечения $(ABED)$ и плоскостью основания $(ABC)$ равен $60^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AB$.

Для нахождения линейного угла двугранного угла проведём перпендикуляры к линии пересечения $AB$ в одной точке. Пусть $K$ — середина ребра $AB$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, его медиана $CK$ является и высотой, то есть $CK \perp AB$.

Пусть $L$ — середина отрезка $DE$. Так как трапеция $ABED$ равнобедренная, её высота $KL$ перпендикулярна основаниям $AB$ и $DE$. Таким образом, $KL \perp AB$.

Поскольку $CK \perp AB$ и $KL \perp AB$, угол $\angle CKL$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle CKL = 60^\circ$.

Найдём длины сторон треугольника $\triangle CKL$ в зависимости от стороны основания $a$.

Высота равностороннего треугольника $ABC$ равна $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Спроектируем точку $L$ на плоскость основания $(ABC)$. Проекцией отрезка $DE$ является средняя линия $MN$ треугольника $ABC$ (где $M$ и $N$ — середины $AC$ и $BC$). Точка $L$ (середина $DE$) проектируется в точку $J$ — середину $MN$. Точка $J$ также является серединой высоты $CK$. Таким образом, $LJ$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$ и $LJ = h = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KJL$. В нём катет $KJ = \frac{1}{2} CK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$, а катет $LJ = 6$. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $KL$:

$KL^2 = KJ^2 + LJ^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{4})^2 + 6^2 = \frac{3a^2}{16} + 36$

Теперь рассмотрим треугольник $CKL$. Мы знаем $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $KL^2 = \frac{3a^2}{16} + 36$ и угол $\angle CKL = 60^\circ$. Найдём сторону $CL$. Точка $C$ лежит в нижнем основании, а точка $L$ — в верхнем. В системе координат с началом в $J$ и осями $JK$ и $JL$ имеем: $K(KJ, 0)$, $C(-CJ, 0)$, $L(0, LJ)$. $CJ=KJ$. $C(-\frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$, $L(0, 6)$.

$CL^2 = (-\frac{a\sqrt{3}}{4} - 0)^2 + (0 - 6)^2 = \frac{3a^2}{16} + 36$

Таким образом, $KL^2 = CL^2$, что означает $KL=CL$. Треугольник $CKL$ является равнобедренным. А так как один из его углов при основании ($ \angle CKL $) равен $60^\circ$, то треугольник $CKL$ — равносторонний.

Следовательно, $CK = KL$.

$\frac{a\sqrt{3}}{2} = \sqrt{\frac{3a^2}{16} + 36}$

Возведём обе части в квадрат:

$\frac{3a^2}{4} = \frac{3a^2}{16} + 36$

$\frac{3a^2}{4} - \frac{3a^2}{16} = 36$

$\frac{12a^2 - 3a^2}{16} = 36$

$\frac{9a^2}{16} = 36$

$a^2 = \frac{36 \cdot 16}{9} = 4 \cdot 16 = 64$

$a = 8$ см.

3. Вычисление площади сечения.

Площадь трапеции $ABED$ вычисляется по формуле $S = \frac{p+q}{2} \cdot h_{tr}$, где $p, q$ — основания, $h_{tr}$ — высота.

Основание $AB = a = 8$ см.

Основание $DE = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Высота трапеции $h_{tr} = KL$. Так как треугольник $CKL$ равносторонний, то $KL = CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$KL = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь находим площадь сечения:

$S_{ABED} = \frac{AB + DE}{2} \cdot KL = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².

Ответ: $24\sqrt{3}$ см².