Страница 209 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.24. Двугранный угол при одном из боковых рёбер наклонной треугольной призмы равен $120^\circ$. Расстояние от данного ребра до одного из остальных боковых рёбер равно 16 см, а до другого — 14 см. Найдите боковое ребро призмы, если площадь её боковой поверхности равна $840\text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{п.с.} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{п.с.}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы. Перпендикулярное сечение — это многоугольник, плоскость которого перпендикулярна боковым рёбрам.

Из данной формулы можно выразить длину бокового ребра: $l = \frac{S_{бок}}{P_{п.с.}}$.

По условию задачи, площадь боковой поверхности призмы составляет $S_{бок} = 840 \text{ см}^2$. Для нахождения длины бокового ребра $l$ необходимо определить периметр перпендикулярного сечения.

Перпендикулярным сечением данной наклонной треугольной призмы является треугольник. Обозначим его вершины $A$, $B$ и $C$.

Линейный угол двугранного угла при боковом ребре призмы равен углу в перпендикулярном сечении при соответствующей вершине. По условию, двугранный угол при одном из рёбер равен $120°$. Пусть это ребро пересекает перпендикулярное сечение в вершине $A$. Тогда угол в треугольнике сечения $\angle A = 120°$.

Расстояние между двумя параллельными боковыми рёбрами равно длине соответствующей стороны перпендикулярного сечения. Расстояние от ребра, проходящего через точку $A$, до двух других рёбер, проходящих через $B$ и $C$, равны 16 см и 14 см. Это означает, что длины сторон перпендикулярного сечения, выходящих из вершины $A$, равны $AB = 16$ см и $AC = 14$ см.

Таким образом, мы имеем перпендикулярное сечение — треугольник $ABC$, в котором известны две стороны и угол между ними. Третью сторону $BC$ можно найти по теореме косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения в формулу:

$BC^2 = 16^2 + 14^2 - 2 \cdot 16 \cdot 14 \cdot \cos(120°)$

Зная, что $\cos(120°) = -0.5$, производим вычисления:

$BC^2 = 256 + 196 - 2 \cdot 16 \cdot 14 \cdot (-0.5)$

$BC^2 = 452 + 16 \cdot 14$

$BC^2 = 452 + 224 = 676$

Отсюда находим длину стороны $BC$:

$BC = \sqrt{676} = 26$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр перпендикулярного сечения $P_{п.с.}$, сложив длины всех его сторон:

$P_{п.с.} = AB + AC + BC = 16 + 14 + 26 = 56$ см.

Наконец, находим искомую длину бокового ребра $l$:

$l = \frac{S_{бок}}{P_{п.с.}} = \frac{840}{56} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

19.25. Площадь основания правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $S$. Площадь треугольника $ABC_1$ равна $S_1$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ — заданная правильная призма. Это означает, что ее основаниями $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонние треугольники, а боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) — прямоугольники.

Обозначим длину стороны основания $a$ (т.е. $AB = BC = AC = a$), а высоту призмы — $h$ (т.е. $AA_1 = BB_1 = CC_1 = h$).

Площадь основания призмы $S$ — это площадь равностороннего треугольника $ABC$. Формула для площади равностороннего треугольника со стороной $a$ имеет вид:
$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь боковой поверхности призмы, которую нам нужно найти, состоит из суммы площадей трех одинаковых прямоугольных граней. Площадь одной такой грани равна $a \cdot h$. Следовательно, площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна:
$S_{бок} = 3ah$.

Рассмотрим треугольник $ABC_1$. Его основание $AB$ равно $a$. Так как призма правильная (а значит, прямая), ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, треугольники $ACC_1$ и $BCC_1$ являются прямоугольными. По теореме Пифагора найдем длины сторон $AC_1$ и $BC_1$:
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = a^2 + h^2 \implies AC_1 = \sqrt{a^2 + h^2}$.
$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = a^2 + h^2 \implies BC_1 = \sqrt{a^2 + h^2}$.
Видим, что $AC_1 = BC_1$, поэтому треугольник $ABC_1$ — равнобедренный с основанием $AB$.

Площадь этого треугольника по условию равна $S_1$. Найдем выражение для этой площади. Проведем в треугольнике $ABC_1$ высоту $C_1M$ к основанию $AB$. Так как треугольник равнобедренный, $M$ является серединой $AB$, и $AM = \frac{a}{2}$. Высоту $C_1M$ найдем из прямоугольного треугольника $AC_1M$ по теореме Пифагора:
$C_1M^2 = AC_1^2 - AM^2 = (a^2 + h^2) - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 + h^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} + h^2$.
$C_1M = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + h^2}$.

Площадь треугольника $ABC_1$ равна:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} a \sqrt{\frac{3a^2}{4} + h^2}$.

Чтобы связать это выражение с известными величинами, возведем его в квадрат:
$S_1^2 = \left(\frac{1}{2} a\right)^2 \left(\frac{3a^2}{4} + h^2\right) = \frac{a^2}{4}\left(\frac{3a^2}{4} + h^2\right) = \frac{3a^4}{16} + \frac{a^2h^2}{4}$.

Теперь воспользуемся формулой для площади основания $S$. Если мы возведем ее в квадрат, получим:
$S^2 = \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^4 \cdot 3}{16}$.

Мы видим, что первое слагаемое в выражении для $S_1^2$ в точности равно $S^2$. Подставим это значение:
$S_1^2 = S^2 + \frac{a^2h^2}{4}$.

Теперь из этого соотношения можно выразить произведение $ah$, необходимое для вычисления площади боковой поверхности:
$\frac{a^2h^2}{4} = S_1^2 - S^2$
$a^2h^2 = 4(S_1^2 - S^2)$
$ah = \sqrt{4(S_1^2 - S^2)} = 2\sqrt{S_1^2 - S^2}$.

Наконец, подставляем найденное выражение для $ah$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 3ah = 3 \cdot (2\sqrt{S_1^2 - S^2}) = 6\sqrt{S_1^2 - S^2}$.

Ответ: $6\sqrt{S_1^2 - S^2}$.

19.26. В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ площадь треугольника $ABC_1$ равна $S$. Плоскость $ABC_1$ образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ — заданная правильная призма. Это означает, что её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований.

Обозначим длину стороны основания за $a$ ($AB=BC=CA=a$), а высоту призмы (длину бокового ребра) за $h$ ($AA_1=h$).Площадь боковой поверхности призмы, $S_{бок}$, равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания $P_{ABC} = 3a$.Следовательно, $S_{бок} = P_{ABC} \cdot h = 3ah$.Наша задача — выразить $3ah$ через известные величины $S$ и $\alpha$.

Угол между плоскостью сечения $(ABC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол. Его линейной мерой является угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения этих плоскостей ($AB$) в одной точке.

1. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CM$ к стороне $AB$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, $CM$ также является медианой, т.е. $M$ — середина $AB$. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Поскольку призма прямая, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости. В частности, $CC_1 \perp AB$. Также мы знаем, что $CM \perp AB$. Так как $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CM$ и $CC_1$) в плоскости $(CMC_1)$, то $AB$ перпендикулярна всей этой плоскости.

3. Прямая $C_1M$ лежит в плоскости $(CMC_1)$, следовательно, $C_1M \perp AB$.

Таким образом, $CM$ и $C_1M$ — это перпендикуляры к общей прямой $AB$, проведенные в плоскостях $(ABC)$ и $(ABC_1)$ соответственно. Угол между ними, $\angle CMC_1$, и есть линейный угол двугранного угла, то есть $\angle CMC_1 = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $CMC_1$. Так как $CC_1 \perp (ABC)$, то $CC_1 \perp CM$. Следовательно, $\triangle CMC_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике:

• Катет $CC_1 = h$.
• Катет $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:$\tan \alpha = \frac{CC_1}{CM} = \frac{h}{a\sqrt{3}/2}$.Отсюда выразим высоту $h$:$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan \alpha$.

Теперь воспользуемся информацией о площади треугольника $ABC_1$. Площадь этого треугольника равна $S$. Его основание — $AB=a$, а высота, проведенная к этому основанию, — $C_1M$ (так как мы доказали, что $C_1M \perp AB$).$S = S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} a \cdot C_1M$.

Длину $C_1M$ найдем из того же прямоугольного треугольника $CMC_1$. $C_1M$ является гипотенузой.$\cos \alpha = \frac{CM}{C_1M} \Rightarrow C_1M = \frac{CM}{\cos \alpha} = \frac{a\sqrt{3}/2}{\cos \alpha} = \frac{a\sqrt{3}}{2\cos \alpha}$.

Подставим это выражение для $C_1M$ в формулу площади $S$:$S = \frac{1}{2} a \left(\frac{a\sqrt{3}}{2\cos \alpha}\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4\cos \alpha}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений, связывающих $a$ и $h$ с $S$ и $\alpha$. Нам нужно найти $S_{бок} = 3ah$.Выразим $a^2$ из формулы для $S$:$a^2 = \frac{4S\cos \alpha}{\sqrt{3}}$.

Теперь преобразуем формулу для площади боковой поверхности:$S_{бок} = 3ah = 3a \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} \tan \alpha\right) = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \tan \alpha$.

Подставим в это выражение найденное значение для $a^2$:$S_{бок} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{4S\cos \alpha}{\sqrt{3}}\right) \tan \alpha$.

Сократим $\sqrt{3}$ и преобразуем, используя $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:$S_{бок} = \frac{3}{2} (4S\cos \alpha) \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 6S\cos \alpha \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 6S \sin \alpha$.

Ответ: $6S \sin \alpha$

19.27. Высота правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 6 см. Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Плоскость, которая проходит через прямые $AB$ и $DE$, образует угол $60^\circ$ с плоскостью $ABC$. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью.

Решение:

1. Построение и анализ сечения.

Призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная, значит, в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Высота призмы $h = AA_1 = 6$ см.

Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Следовательно, отрезок $DE$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$. По свойству средней линии, $DE \parallel A_1B_1$ и $DE = \frac{1}{2}A_1B_1$.

Так как призма прямая, $A_1B_1 \parallel AB$. Отсюда следует, что $DE \parallel AB$. Две параллельные прямые $AB$ и $DE$ задают единственную плоскость. Эта плоскость пересекает призму по четырёхугольнику $ABED$. Поскольку $AB \parallel DE$, $ABED$ — трапеция.

Докажем, что трапеция равнобедренная. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA_1D$ и $\triangle BB_1E$. $AA_1 = BB_1 = 6$ см. Пусть сторона основания призмы равна $a$. Тогда $A_1C_1 = B_1C_1 = a$. Так как $D$ и $E$ — середины рёбер, $A_1D = B_1E = a/2$. По теореме Пифагора:

$AD^2 = AA_1^2 + A_1D^2 = 6^2 + (a/2)^2 = 36 + a^2/4$

$BE^2 = BB_1^2 + B_1E^2 = 6^2 + (a/2)^2 = 36 + a^2/4$

Так как $AD^2 = BE^2$, то $AD = BE$. Следовательно, трапеция $ABED$ — равнобедренная.

2. Нахождение стороны основания.

Угол между плоскостью сечения $(ABED)$ и плоскостью основания $(ABC)$ равен $60^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AB$.

Для нахождения линейного угла двугранного угла проведём перпендикуляры к линии пересечения $AB$ в одной точке. Пусть $K$ — середина ребра $AB$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, его медиана $CK$ является и высотой, то есть $CK \perp AB$.

Пусть $L$ — середина отрезка $DE$. Так как трапеция $ABED$ равнобедренная, её высота $KL$ перпендикулярна основаниям $AB$ и $DE$. Таким образом, $KL \perp AB$.

Поскольку $CK \perp AB$ и $KL \perp AB$, угол $\angle CKL$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle CKL = 60^\circ$.

Найдём длины сторон треугольника $\triangle CKL$ в зависимости от стороны основания $a$.

Высота равностороннего треугольника $ABC$ равна $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Спроектируем точку $L$ на плоскость основания $(ABC)$. Проекцией отрезка $DE$ является средняя линия $MN$ треугольника $ABC$ (где $M$ и $N$ — середины $AC$ и $BC$). Точка $L$ (середина $DE$) проектируется в точку $J$ — середину $MN$. Точка $J$ также является серединой высоты $CK$. Таким образом, $LJ$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$ и $LJ = h = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KJL$. В нём катет $KJ = \frac{1}{2} CK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$, а катет $LJ = 6$. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $KL$:

$KL^2 = KJ^2 + LJ^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{4})^2 + 6^2 = \frac{3a^2}{16} + 36$

Теперь рассмотрим треугольник $CKL$. Мы знаем $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $KL^2 = \frac{3a^2}{16} + 36$ и угол $\angle CKL = 60^\circ$. Найдём сторону $CL$. Точка $C$ лежит в нижнем основании, а точка $L$ — в верхнем. В системе координат с началом в $J$ и осями $JK$ и $JL$ имеем: $K(KJ, 0)$, $C(-CJ, 0)$, $L(0, LJ)$. $CJ=KJ$. $C(-\frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$, $L(0, 6)$.

$CL^2 = (-\frac{a\sqrt{3}}{4} - 0)^2 + (0 - 6)^2 = \frac{3a^2}{16} + 36$

Таким образом, $KL^2 = CL^2$, что означает $KL=CL$. Треугольник $CKL$ является равнобедренным. А так как один из его углов при основании ($ \angle CKL $) равен $60^\circ$, то треугольник $CKL$ — равносторонний.

Следовательно, $CK = KL$.

$\frac{a\sqrt{3}}{2} = \sqrt{\frac{3a^2}{16} + 36}$

Возведём обе части в квадрат:

$\frac{3a^2}{4} = \frac{3a^2}{16} + 36$

$\frac{3a^2}{4} - \frac{3a^2}{16} = 36$

$\frac{12a^2 - 3a^2}{16} = 36$

$\frac{9a^2}{16} = 36$

$a^2 = \frac{36 \cdot 16}{9} = 4 \cdot 16 = 64$

$a = 8$ см.

3. Вычисление площади сечения.

Площадь трапеции $ABED$ вычисляется по формуле $S = \frac{p+q}{2} \cdot h_{tr}$, где $p, q$ — основания, $h_{tr}$ — высота.

Основание $AB = a = 8$ см.

Основание $DE = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Высота трапеции $h_{tr} = KL$. Так как треугольник $CKL$ равносторонний, то $KL = CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$KL = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь находим площадь сечения:

$S_{ABED} = \frac{AB + DE}{2} \cdot KL = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².

Ответ: $24\sqrt{3}$ см².

19.28. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $4\sqrt{2}$ см, а высота призмы — 6 см. Через диагональ основания проведено сечение призмы, параллельное диагонали призмы. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием является квадрат $ABCD$ со стороной $a = 4\sqrt{2}$ см. Высота призмы $H = AA_1 = 6$ см.

Сечение проходит через диагональ основания, например $BD$, и параллельно диагонали призмы, например $AC_1$ (которая скрещивается с $BD$). Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$.

Построим сечение. Так как плоскость сечения параллельна $AC_1$, она должна содержать прямую, параллельную $AC_1$. Проведём через точку $O$ (середину $AC$) прямую $OK$ параллельно $AC_1$, где точка $K$ лежит на ребре $CC_1$. В треугольнике $ACC_1$ отрезок $OK$ является средней линией, поскольку он соединяет середину стороны $AC$ со стороной $CC_1$ и параллелен третьей стороне $AC_1$. Следовательно, точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Таким образом, искомое сечение представляет собой треугольник $BKD$.

Найдём площадь треугольника $BKD$. Его основание — это диагональ квадрата $BD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.

$BD = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8$ см.

Треугольник $BKD$ является равнобедренным, так как его боковые стороны $BK$ и $DK$ равны (это следует из равенства прямоугольных треугольников $BCK$ и $DCK$ по двум катетам: $BC=DC$ и $CK$ — общий). Следовательно, его высота, опущенная на основание $BD$, совпадает с медианой $KO$.

Длину высоты $KO$ найдём из прямоугольного треугольника $OCK$. Угол $\angle OCK = 90^\circ$, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит и прямой $OC$, лежащей в этой плоскости. Катет $OC$ равен половине диагонали основания: $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см. Катет $CK$ равен половине высоты призмы: $CK = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. По теореме Пифагора:

$KO = \sqrt{OC^2 + CK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь сечения (треугольника $BKD$) равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ см$^2$.

Ответ: $20$ см$^2$.

19.29. Высота правильной четырёхугольной призмы равна $h$. В двух соседних боковых гранях проведены две диагонали, имеющие общий конец. Найдите площадь сечения, проходящего через данные диагонали, если угол между ними равен $\alpha$.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, а боковые грани — прямоугольниками, перпендикулярными основаниям. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = h$. Обозначим сторону основания за $a$, то есть $AB = BC = a$.

В условии говорится о двух диагоналях, проведенных в двух соседних боковых гранях и имеющих общий конец. Возьмем соседние грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ и их общий конец — вершину $B_1$. Тогда диагоналями будут отрезки $AB_1$ и $CB_1$.

Сечение, проходящее через данные диагонали, представляет собой треугольник $AB_1C$. По условию, угол между этими диагоналями равен $\alpha$, что означает $\angle AB_1C = \alpha$.

Для нахождения площади треугольника $AB_1C$ воспользуемся формулой:$S = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \sin(\angle AB_1C) = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \sin(\alpha)$.

Найдем длины сторон $AB_1$ и $CB_1$.Боковая грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником со сторонами $AB=a$ и $BB_1=h$. Диагональ $AB_1$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника $ABB_1$. По теореме Пифагора:$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = a^2 + h^2$.

Аналогично, боковая грань $BCC_1B_1$ — это прямоугольник со сторонами $BC=a$ и $BB_1=h$. Диагональ $CB_1$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника $CBB_1$. По теореме Пифагора:$CB_1^2 = BC^2 + BB_1^2 = a^2 + h^2$.

Следовательно, $AB_1 = CB_1 = \sqrt{a^2 + h^2}$, а треугольник $AB_1C$ — равнобедренный.Подставим полученные длины в формулу площади:$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (a^2 + h^2) \sin(\alpha)$.

Эта формула содержит неизвестную нам величину $a$. Чтобы выразить площадь только через известные параметры $h$ и $\alpha$, необходимо найти связь между $a$, $h$ и $\alpha$. Для этого рассмотрим третью сторону треугольника $AB_1C$ — отрезок $AC$. $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании. Из прямоугольного треугольника $ABC$ находим:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $AB_1C$:$AC^2 = AB_1^2 + CB_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \cos(\angle AB_1C)$.Подставляем известные выражения для сторон:$2a^2 = (a^2 + h^2) + (a^2 + h^2) - 2 \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \cos(\alpha)$.$2a^2 = 2(a^2 + h^2) - 2(a^2 + h^2) \cos(\alpha)$.$2a^2 = 2(a^2 + h^2)(1 - \cos(\alpha))$.$a^2 = (a^2 + h^2)(1 - \cos(\alpha))$.

Нам нужно выразить $(a^2 + h^2)$ через $h$ и $\alpha$. Преобразуем полученное равенство:$a^2 = a^2 + h^2 - (a^2 + h^2)\cos(\alpha)$.$0 = h^2 - (a^2 + h^2)\cos(\alpha)$.$(a^2 + h^2)\cos(\alpha) = h^2$.Отсюда получаем выражение для $(a^2 + h^2)$:$a^2 + h^2 = \frac{h^2}{\cos(\alpha)}$.(Это равенство имеет смысл только при $\cos(\alpha) > 0$, что означает, что угол $\alpha$ должен быть острым).

Теперь подставим это выражение в формулу для площади сечения:$S = \frac{1}{2} (a^2 + h^2) \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{h^2}{\cos(\alpha)} \cdot \sin(\alpha)$.

Используя тригонометрическое тождество $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, упростим выражение:$S = \frac{h^2}{2} \tan(\alpha)$.

Ответ: $S = \frac{h^2}{2} \tan(\alpha)$.

19.30. Высота правильной треугольной призмы равна $h$. Угол между диагоналями двух боковых граней, имеющими общий конец, равен $\alpha$. Найдите площадь сечения, проходящего через данные диагонали.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABC-A_1B_1C_1$. Основания призмы, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, являются правильными треугольниками. Боковые грани являются прямоугольниками.

Обозначим сторону основания за $a$, то есть $AB = BC = CA = a$. Высота призмы по условию равна $h$, то есть $AA_1 = BB_1 = CC_1 = h$.

Рассмотрим две диагонали боковых граней, имеющие общий конец, например, в вершине $A_1$. Это диагонали $A_1B$ и $A_1C$ смежных боковых граней $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$. Угол между этими диагоналями по условию равен $\alpha$, то есть $\angle BA_1C = \alpha$.

Сечение, проходящее через данные диагонали, представляет собой треугольник $A_1BC$. Наша задача — найти его площадь $S$.

Поскольку призма правильная, боковые грани $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$ — равные прямоугольники. Следовательно, их диагонали $A_1B$ и $A_1C$ равны. Таким образом, треугольник $A_1BC$ является равнобедренным.

Найдем длину диагонали боковой грани. Из прямоугольного треугольника $\triangle A_1AB$ по теореме Пифагора имеем:

$A_1B^2 = A_1A^2 + AB^2 = h^2 + a^2$

Следовательно, $A_1B = A_1C = \sqrt{h^2 + a^2}$.

Площадь треугольника $A_1BC$ можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} A_1B \cdot A_1C \cdot \sin(\angle BA_1C)$

Подставляя найденные длины сторон, получаем:

$S = \frac{1}{2} \sqrt{h^2 + a^2} \cdot \sqrt{h^2 + a^2} \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (h^2 + a^2) \sin(\alpha)$

В этой формуле присутствует неизвестная величина $a$ (сторона основания). Чтобы найти площадь, необходимо выразить $a^2$ через известные $h$ и $\alpha$. Для этого применим теорему косинусов к треугольнику $A_1BC$:

$BC^2 = A_1B^2 + A_1C^2 - 2 \cdot A_1B \cdot A_1C \cdot \cos(\angle BA_1C)$

Подставим известные нам выражения для сторон:

$a^2 = (h^2 + a^2) + (h^2 + a^2) - 2 (\sqrt{h^2 + a^2})^2 \cos(\alpha)$

$a^2 = 2(h^2 + a^2) - 2(h^2 + a^2)\cos(\alpha)$

$a^2 = 2(h^2 + a^2)(1 - \cos(\alpha))$

Теперь решим это уравнение относительно $a^2$:

$a^2 = 2h^2(1 - \cos(\alpha)) + 2a^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2 - 2a^2(1 - \cos(\alpha)) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2(1 - 2 + 2\cos(\alpha)) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2(2\cos(\alpha) - 1) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2 = \frac{2h^2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1}$

Теперь найдем выражение для $h^2 + a^2$, которое входит в формулу площади:

$h^2 + a^2 = h^2 + \frac{2h^2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1} = h^2 \left( 1 + \frac{2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1} \right)$

$h^2 + a^2 = h^2 \left( \frac{2\cos(\alpha) - 1 + 2 - 2\cos(\alpha)}{2\cos(\alpha) - 1} \right) = h^2 \left( \frac{1}{2\cos(\alpha) - 1} \right) = \frac{h^2}{2\cos(\alpha) - 1}$

Наконец, подставим это выражение в формулу для площади сечения $S$:

$S = \frac{1}{2} (h^2 + a^2) \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{h^2}{2\cos(\alpha) - 1} \right) \cdot \sin(\alpha)$

$S = \frac{h^2 \sin(\alpha)}{2(2\cos(\alpha) - 1)}$

Ответ: $S = \frac{h^2 \sin(\alpha)}{2(2\cos(\alpha) - 1)}$

19.31. Каждое ребро наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ равно $a$. Ребро $AA_1$ образует с каждым из рёбер $AB$ и $AC$ угол, равный $45^\circ$.

1) Докажите, что $AA_1 \perp BC$.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1) Докажите, что $AA_1 \perp BC$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем векторы, соответствующие ребрам призмы, выходящим из вершины A: $\vec{AA_1}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

По условию задачи, все ребра призмы равны $a$. Следовательно, длины (модули) этих векторов равны $a$:
$|\vec{AA_1}| = a$, $|\vec{AB}| = a$, $|\vec{AC}| = a$.

Также по условию, ребро $AA_1$ образует с каждым из ребер $AB$ и $AC$ угол, равный $45^\circ$. Это означает, что угол между соответствующими векторами также равен $45^\circ$:
$\angle(\vec{AA_1}, \vec{AB}) = 45^\circ$
$\angle(\vec{AA_1}, \vec{AC}) = 45^\circ$

Чтобы доказать перпендикулярность прямых $AA_1$ и $BC$, необходимо и достаточно показать, что скалярное произведение их направляющих векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC}$ равно нулю.

Выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы с общим началом в точке A: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC}$:
$\vec{AA_1} \cdot \vec{BC} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{AC} - \vec{AA_1} \cdot \vec{AB}$.

Используя определение скалярного произведения ($\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами), вычислим каждое слагаемое: $\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(45^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$. $\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(45^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Подставим полученные значения в выражение для скалярного произведения: $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} - \frac{a^2\sqrt{2}}{2} = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BC$ также перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) равна сумме площадей ее боковых граней: $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $CAA_1C_1$. Поскольку все ребра призмы равны $a$, каждая боковая грань является ромбом со стороной $a$. Площадь ромба можно найти по формуле $S = s_1 s_2 \sin\beta$, где $s_1$ и $s_2$ — смежные стороны, а $\beta$ — угол между ними.

1. Площадь грани $ABB_1A_1$. Стороны $AB=a$, $AA_1=a$. Угол между ними $\angle A_1AB = 45^\circ$. $S_{ABB_1A_1} = a \cdot a \cdot \sin(45^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Площадь грани $CAA_1C_1$. Стороны $AC=a$, $AA_1=a$. Угол между ними $\angle A_1AC = 45^\circ$. $S_{CAA_1C_1} = a \cdot a \cdot \sin(45^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Площадь грани $BCC_1B_1$. Стороны $BC=a$, $BB_1=a$. Боковое ребро $BB_1$ параллельно и равно ребру $AA_1$. Следовательно, угол между сторонами $BC$ и $BB_1$ равен углу между прямыми $BC$ и $AA_1$. В пункте 1) мы доказали, что $AA_1 \perp BC$, значит, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, грань $BCC_1B_1$ является квадратом. $S_{BCC_1B_1} = a \cdot a \cdot \sin(90^\circ) = a \cdot a \cdot 1 = a^2$.

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности, сложив площади всех боковых граней: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{CAA_1C_1} + S_{BCC_1B_1} = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2} + a^2 \frac{\sqrt{2}}{2} + a^2$. $S_{бок} = a^2\sqrt{2} + a^2 = a^2(1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $a^2(1 + \sqrt{2})$.

19.32. Каждое ребро наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно $a$, проекцией точки $A_1$ на плоскость $ABC$ является центр треугольника $ABC$.

1) Докажите, что грань $BB_1C_1C$ является прямоугольником.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1) Докажите, что грань $BB_1C_1C$ является прямоугольником.

По условию, все ребра призмы равны $a$. Это означает, что основания призмы, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, являются равносторонними со стороной $a$. Боковые грани призмы ($ABB_1A_1$, $BB_1C_1C$ и $CAA_1C_1$) являются параллелограммами. Так как все боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) и ребра оснований ($AB, BC, CA$) равны $a$, то все боковые грани являются ромбами со стороной $a$.

Пусть $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. По условию, проекцией точки $A_1$ на плоскость $ABC$ является точка $O$. Это означает, что перпендикуляр, опущенный из $A_1$ на плоскость $ABC$, есть отрезок $A_1O$, то есть $A_1O \perp (ABC)$.

Рассмотрим боковое ребро $AA_1$. Отрезок $OA$ является его проекцией на плоскость $ABC$.

Так как призма наклонная, все её боковые ребра параллельны и равны, то есть $BB_1 \parallel AA_1$. Следовательно, проекция ребра $BB_1$ на плоскость $ABC$ будет параллельна проекции ребра $AA_1$, то есть линии $OA$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ центр $O$ является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. Проведем медиану $AM$ к стороне $BC$. В равностороннем треугольнике медиана является и высотой, поэтому $AM \perp BC$. Точка $O$ лежит на отрезке $AM$, следовательно, прямая $OA$ совпадает с прямой $AM$. Таким образом, $OA \perp BC$.

Так как проекция ребра $BB_1$ на плоскость $ABC$ параллельна $OA$, то эта проекция также перпендикулярна $BC$.

По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. В нашем случае, наклонная — это $BB_1$, плоскость — $ABC$, прямая в плоскости — $BC$. Так как проекция $BB_1$ перпендикулярна $BC$, то и сама наклонная $BB_1$ перпендикулярна $BC$.

Мы установили, что в ромбе $BB_1C_1C$ угол $\angle CBB_1 = 90^\circ$. Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом. Квадрат является частным случаем прямоугольника.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CAA_1C_1}$.

Из пункта 1 мы доказали, что грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной $a$. Ее площадь равна: $S_{BCC_1B_1} = a^2$.

Грани $ABB_1A_1$ и $CAA_1C_1$ являются ромбами со стороной $a$. Площадь ромба можно найти по формуле $S = a^2 \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между сторонами. Найдем площадь грани $ABB_1A_1$. Для этого определим длину ее диагонали $A_1B$.

Рассмотрим треугольник $A_1OB$. Так как $A_1O \perp (ABC)$, то $A_1O$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в частности $A_1O \perp OB$. Таким образом, $\triangle A_1OB$ — прямоугольный.

Найдем длины катетов $A_1O$ и $OB$. $OB$ — радиус описанной окружности равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a$. $OB = \frac{a}{\sqrt{3}}$. $A_1O$ — высота призмы. Найдем ее из прямоугольного треугольника $A_1OA$ (так как $A_1O \perp OA$). Гипотенуза $AA_1 = a$, катет $OA = OB = \frac{a}{\sqrt{3}}$. По теореме Пифагора: $A_1O^2 = AA_1^2 - OA^2 = a^2 - (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $A_1OB$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $A_1B$: $A_1B^2 = A_1O^2 + OB^2 = \frac{2a^2}{3} + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = \frac{2a^2}{3} + \frac{a^2}{3} = \frac{3a^2}{3} = a^2$. Отсюда $A_1B = a$.

Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Это ромб, у которого стороны $AB$ и $AA_1$ равны $a$, и диагональ $A_1B$ также равна $a$. Это означает, что треугольник $A_1AB$ является равносторонним. Следовательно, угол $\angle A_1AB = 60^\circ$.

Площадь ромба $ABB_1A_1$ равна: $S_{ABB_1A_1} = a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

В силу симметрии задачи, грань $CAA_1C_1$ конгруэнтна грани $ABB_1A_1$, поэтому ее площадь также равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. $S_{CAA_1C_1} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности: $S_{бок} = S_{BCC_1B_1} + S_{ABB_1A_1} + S_{CAA_1C_1} = a^2 + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = a^2 + a^2\sqrt{3} = a^2(1 + \sqrt{3})$.

Ответ: $a^2(1 + \sqrt{3})$.

19.33. Основанием прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 10$ см и $AC = 12$ см. Боковое ребро призмы равно 4 см. Через ребро $AC$ проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь образовавшегося сечения.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Проанализируем основание призмы и найдем его ключевые параметры.
2. Определим форму сечения, исходя из его расположения и угла наклона.
3. Найдем площадь сечения, используя теорему о площади ортогональной проекции фигуры.

1. Анализ основания призмы

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 10$ см и $AC = 12$ см. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как треугольник равнобедренный, высота $BH$ является также и медианой.

Следовательно, точка $H$ — середина отрезка $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора:
$BH^2 + HC^2 = BC^2$
$BH^2 + 6^2 = 10^2$
$BH^2 + 36 = 100$
$BH^2 = 100 - 36 = 64$
$BH = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Определение формы сечения

Сечение проходит через ребро $AC$ и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Угол между двумя плоскостями (в данном случае, плоскостью сечения и плоскостью основания $ABC$) измеряется как угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения (ребру $AC$) в каждой из плоскостей.

В плоскости основания мы уже провели перпендикуляр $BH$ к $AC$. Пусть плоскость сечения пересекает ребро $BB_1$ (или его продолжение) в точке $M$. Тогда в плоскости сечения перпендикуляром к $AC$ будет отрезок $MH$. Угол между плоскостями равен углу $\angle MHB$, и по условию он составляет $45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBH$ (прямой угол при вершине $B$, так как призма прямая и $BB_1 \perp BH$). Найдем длину катета $MB$:
$MB = BH \cdot \tan(\angle MHB) = 8 \cdot \tan(45^\circ) = 8 \cdot 1 = 8$ см.

Боковое ребро призмы $BB_1$ равно 4 см. Поскольку $MB = 8$ см, что больше длины бокового ребра $BB_1$, точка $M$ лежит на продолжении ребра $BB_1$ за точку $B_1$. Это означает, что секущая плоскость пересекает верхнее основание призмы $A_1B_1C_1$.

Так как плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — $AC$. Следовательно, линия пересечения с верхним основанием, обозначим ее $DE$, будет параллельна $AC$. Таким образом, сечение представляет собой трапецию $ACED$, где точки $D$ и $E$ лежат на ребрах $A_1B_1$ и $C_1B_1$ соответственно.

3. Нахождение площади сечения

Для нахождения площади сечения ($S_{сеч}$) воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции. Площадь проекции фигуры на плоскость равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции:
$S_{проекции} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$
Отсюда, $S_{сеч} = \frac{S_{проекции}}{\cos(\alpha)}$.

В нашем случае, ортогональной проекцией сечения (трапеции $ACED$) на плоскость основания $ABC$ является трапеция $ACED'$, где $D'$ и $E'$ — проекции точек $D$ и $E$. Нам нужно найти площадь этой проекции.

Верхнее основание проекции $D'E'$ параллельно $AC$ и лежит в треугольнике $ABC$. Чтобы найти его длину и высоту трапеции-проекции, рассмотрим подобные треугольники $\triangle D'BE'$ и $\triangle ABC$. Они подобны, так как $D'E' \parallel AC$.

Найдем положение прямой $D'E'$. Прямая $DE$ лежит в плоскости верхнего основания, т.е. на высоте 4 см от нижнего. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через $B$, $H$ и $B_1$. В этой плоскости лежит линия $MH$. Эта линия пересекает отрезок $B_1H_1$ (где $H_1$ — проекция $H$ на верхнее основание) в некоторой точке $K$. Точка $K$ является серединой отрезка $DE$. Ее проекция $K'$ на основание $ABC$ будет лежать на отрезке $BH$.

В прямоугольном треугольнике, образованном точками $H$, $K'$ и точкой на $MH$ на высоте 4, катеты равны, так как угол наклона $45^\circ$. Таким образом, расстояние $HK'$ равно высоте, то есть $HK' = 4$ см. Это высота трапеции-проекции $ACED'$.

Теперь найдем длину основания $D'E'$. Из подобия треугольников $\triangle D'BE'$ и $\triangle ABC$ имеем отношение высот, проведенных из вершины $B$:
$\frac{BK'}{BH} = \frac{BH - HK'}{BH} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Это же отношение справедливо и для оснований:
$\frac{D'E'}{AC} = \frac{1}{2}$
$D'E' = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Теперь мы можем найти площадь проекции — трапеции $ACED'$ с основаниями $AC=12$ см, $D'E'=6$ см и высотой $HK'=4$ см:
$S_{проекции} = \frac{AC + D'E'}{2} \cdot HK' = \frac{12 + 6}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$ см$^2$.

Наконец, находим площадь самого сечения, зная, что угол $\alpha = 45^\circ$:
$S_{сеч} = \frac{S_{проекции}}{\cos(45^\circ)} = \frac{36}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{36 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{72}{\sqrt{2}} = \frac{72\sqrt{2}}{2} = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{2}$ см$^2$.