Страница 216 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Что называют параллелепипедом?

2. Какие грани параллелепипеда называют противолежащими?

3. Какой параллелепипед называют прямым?

4. Какой параллелепипед называют прямоугольным?

5. Что называют измерениями прямоугольного параллелепипеда?

6. Каким свойством обладают диагонали параллелепипеда?

7. Сформулируйте теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.

1. Что называют параллелепипедом? Параллелепипедом называют многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов. Иначе говоря, это призма, в основании которой лежит параллелограмм. У параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Ответ: Параллелепипедом называют многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них — параллелограмм.

2. Какие грани параллелепипеда называют противолежащими? Противолежащими гранями параллелепипеда называют две грани, у которых нет общего ребра. Такие грани параллельны и равны друг другу. У любого параллелепипеда есть три пары противолежащих граней. Ответ: Противолежащими называют грани, которые не имеют общих рёбер.

3. Какой параллелепипед называют прямым? Прямым называют такой параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскостям его оснований. В этом случае боковые грани являются прямоугольниками, а основания — параллелограммами. Ответ: Прямым называют параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны его основаниям.

4. Какой параллелепипед называют прямоугольным? Прямоугольным называют прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. У прямоугольного параллелепипеда все шесть граней — прямоугольники. Ответ: Прямоугольным называют прямой параллелепипед, у которого основаниями являются прямоугольники.

5. Что называют измерениями прямоугольного параллелепипеда? Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Эти три ребра взаимно перпендикулярны. Обычно их называют длиной, шириной и высотой. Ответ: Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют длины трёх его рёбер, исходящих из одной вершины.

6. Каким свойством обладают диагонали параллелепипеда? Основное свойство диагоналей параллелепипеда заключается в том, что все четыре его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Эта точка является центром симметрии параллелепипеда. Ответ: Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

7. Сформулируйте теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда. Теорема: квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трёх его измерений (длины, ширины и высоты). Если обозначить измерения как $a, b, c$, а диагональ как $d$, то формула будет выглядеть следующим образом: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Ответ: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

20.1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите высоту параллелепипеда.

20.1. Пусть дан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого $a=5$ см и $b=12$ см, а высота – $h$.
Диагональ параллелепипеда ($D$), его высота ($h$) и диагональ основания ($d$) образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $D$ и катетом $d$ в этом треугольнике. По условию, этот угол равен $60^\circ$.

Сначала найдем длину диагонали основания $d$. Основание — это прямоугольник, поэтому его диагональ можно найти по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$ (противолежащий катет к углу $60^\circ$) и диагональю основания $d$ (прилежащий катет). Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{d}$
Выразим отсюда высоту $h$:
$h = d \cdot \tan(60^\circ)$
Подставим известные значения $d=13$ см и $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$:
$h = 13 \cdot \sqrt{3} = 13\sqrt{3}$ см.

Ответ: $13\sqrt{3}$ см.

20.2. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 7 см и 24 см, а высота — 4 см. Найдите площадь диагонального сечения параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед имеет в основании прямоугольник, а его боковые ребра перпендикулярны основанию. Диагональное сечение такого параллелепипеда также является прямоугольником.

Дано:

• Стороны основания: $a = 7$ см, $b = 24$ см.
• Высота параллелепипеда: $h = 4$ см.

Площадь диагонального сечения ($S$) равна произведению диагонали основания ($d$) на высоту параллелепипеда ($h$):

$S = d \cdot h$

1. Найдем диагональ основания.

Основание — это прямоугольник со сторонами 7 см и 24 см. Его диагональ можно найти по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат стороны основания.

$d^2 = a^2 + b^2$

$d^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

$d = \sqrt{625} = 25$ см.

2. Найдем площадь диагонального сечения.

Теперь, зная диагональ основания ($d = 25$ см) и высоту параллелепипеда ($h = 4$ см), вычислим площадь сечения:

$S = 25 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$

Ответ: 100 см².

20.3. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.14),

$AB = 5$ см, $AD = 7$ см, $AA_1 = 12$ см. Найдите угол между:

1) прямой $DC_1$ и плоскостью $BCC_1$;

2) прямой $B_1D$ и плоскостью $ABB_1$.

Рис. 20.14

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB = 5$ см, $AD = 7$ см и $AA_1 = 12$ см.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдём проекцию прямой $DC_1$ на плоскость $BCC_1$. Плоскость $BCC_1$ совпадает с плоскостью боковой грани $BCC_1B_1$.

Точка $C_1$ уже лежит в плоскости $BCC_1$, следовательно, проекцией точки $C_1$ на эту плоскость является сама точка $C_1$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, ребро $CD$ перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$ (так как $CD \perp BC$ и $CD \perp CC_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $BCC_1$ является точка $C$.

Таким образом, прямая $CC_1$ является проекцией прямой $DC_1$ на плоскость $BCC_1$.

Искомый угол — это угол между наклонной $DC_1$ и её проекцией $CC_1$, то есть угол $\angle DC_1C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DC_1C$. Так как ребро $CD$ перпендикулярно плоскости $BCC_1$, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CC_1$. Значит, треугольник $\triangle DC_1C$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

В этом треугольнике нам известны длины катетов: $CD = AB = 5$ см и $CC_1 = AA_1 = 12$ см.

Тангенс искомого угла $\angle DC_1C$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $ \tan(\angle DC_1C) = \frac{CD}{CC_1} = \frac{5}{12} $

Следовательно, искомый угол равен $ \arctan\left(\frac{5}{12}\right) $.

Ответ: $ \arctan\left(\frac{5}{12}\right) $

Аналогично первому пункту, найдём проекцию прямой $B_1D$ на плоскость $ABB_1$. Плоскость $ABB_1$ совпадает с плоскостью передней грани $ABB_1A_1$.

Точка $B_1$ уже лежит в плоскости $ABB_1$, значит, её проекция — это сама точка $B_1$.

Ребро $AD$ перпендикулярно плоскости грани $ABB_1A_1$ (так как $AD \perp AB$ и $AD \perp AA_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $ABB_1$ является точка $A$.

Таким образом, прямая $AB_1$ является проекцией прямой $B_1D$ на плоскость $ABB_1$.

Искомый угол — это угол между наклонной $B_1D$ и её проекцией $AB_1$, то есть угол $\angle DB_1A$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DB_1A$. Так как ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $ABB_1$, оно перпендикулярно прямой $AB_1$, лежащей в этой плоскости. Значит, треугольник $\triangle DB_1A$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

В этом треугольнике катет $AD = 7$ см. Длину второго катета $AB_1$ найдём из прямоугольного треугольника $\triangle ABB_1$ (грань $ABB_1A_1$) по теореме Пифагора: $ AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $ $ AB_1 = \sqrt{169} = 13 $ см.

Теперь найдём тангенс искомого угла $\angle DB_1A$ в прямоугольном треугольнике $\triangle DB_1A$: $ \tan(\angle DB_1A) = \frac{AD}{AB_1} = \frac{7}{13} $

Следовательно, искомый угол равен $ \arctan\left(\frac{7}{13}\right) $.

Ответ: $ \arctan\left(\frac{7}{13}\right) $

20.4. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.14), $AB = 5 \text{ см}$, $AD = 7 \text{ см}$, $AA_1 = 12 \text{ см}$. Найдите угол между:

1) прямой $DC_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$;

2) прямой $B_1D$ и плоскостью $ABC$.

Рис. 20.14

1) прямой $DC_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$;

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдем проекцию прямой $DC_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$.

Точка $C_1$ уже лежит в плоскости $A_1B_1C_1$, следовательно, ее проекция — это сама точка $C_1$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, то ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1D_1$. Это означает, что проекцией точки $D$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является точка $D_1$.

Таким образом, проекцией прямой $DC_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является прямая $D_1C_1$.

Искомый угол — это угол между наклонной $DC_1$ и ее проекцией $D_1C_1$, то есть угол $\angle DC_1D_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DD_1C_1$. Так как $DD_1 \perp$ плоскости $A_1B_1C_1$, то $DD_1 \perp D_1C_1$. Следовательно, $\triangle DD_1C_1$ — прямоугольный с прямым углом $\angle DD_1C_1$.

Найдем длины катетов:

$DD_1 = AA_1 = 12$ см.

$D_1C_1 = AB = 5$ см.

Тангенс искомого угла $\alpha = \angle DC_1D_1$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{DD_1}{D_1C_1} = \frac{12}{5}$

Следовательно, искомый угол равен $\arctan\left(\frac{12}{5}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{12}{5}\right)$.

2) прямой $B_1D$ и плоскостью $ABC$.

Найдем проекцию прямой $B_1D$ на плоскость $ABC$.

Точка $D$ уже лежит в плоскости $ABC$, значит, ее проекция — это сама точка $D$.

Ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости $ABC$, поэтому проекцией точки $B_1$ на эту плоскость является точка $B$.

Следовательно, проекцией прямой $B_1D$ на плоскость $ABC$ является прямая $BD$.

Искомый угол — это угол между наклонной $B_1D$ и ее проекцией $BD$, то есть угол $\angle B_1DB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BD$. Так как $B_1B \perp$ плоскости $ABC$, то $B_1B \perp BD$. Следовательно, $\triangle B_1BD$ — прямоугольный с прямым углом $\angle B_1BD$.

Найдем длины катетов:

$B_1B = AA_1 = 12$ см.

Катет $BD$ является диагональю прямоугольника $ABCD$ в основании. Найдем его длину по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$

$BD = \sqrt{74}$ см.

Теперь найдем тангенс искомого угла $\beta = \angle B_1DB$ в треугольнике $\triangle B_1BD$:

$\tan(\beta) = \frac{B_1B}{BD} = \frac{12}{\sqrt{74}}$

Следовательно, искомый угол равен $\arctan\left(\frac{12}{\sqrt{74}}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{12}{\sqrt{74}}\right)$.

20.5. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 6 см.

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, нужно использовать формулу, согласно которой квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений (длины $a$, ширины $b$ и высоты $c$).

Формула для нахождения диагонали $d$ выглядит следующим образом:

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

В условии задачи даны измерения параллелепипеда:

$a = 2$ см
$b = 3$ см
$c = 6$ см

Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

$d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}$

$d = \sqrt{4 + 9 + 36}$

$d = \sqrt{49}$

$d = 7$ см

Ответ: 7 см.