Страница 217 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.6. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если они относятся как $1:2:2$, а диагональ параллелепипеда равна 6 см.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$.

По условию задачи, их соотношение равно $1:2:2$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда измерения можно выразить следующим образом:

$a = 1 \cdot x = x$ см

$b = 2 \cdot x = 2x$ см

$c = 2 \cdot x = 2x$ см

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда ($d^2$) равен сумме квадратов его трех измерений. Формула выглядит так:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Известно, что диагональ $d = 6$ см. Подставим известные значения в формулу:

$6^2 = x^2 + (2x)^2 + (2x)^2$

Теперь решим полученное уравнение:

$36 = x^2 + 4x^2 + 4x^2$

$36 = 9x^2$

$x^2 = \frac{36}{9}$

$x^2 = 4$

Поскольку $x$ представляет собой коэффициент для длины, он должен быть положительным. Следовательно:

$x = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем измерения параллелепипеда, подставив значение $x=2$:

$a = x = 2$ см

$b = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см

$c = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 4 см и 4 см.

20.7. Из четырёх равных кубов, ребро которых равно 1 см, составили прямоугольный параллелепипед. Чему равна площадь полной поверхности этого параллелепипеда?

Для решения задачи необходимо рассмотреть возможные способы составления прямоугольного параллелепипеда из четырёх кубов с ребром 1 см. Существует два различных варианта, которые приводят к разным значениям площади полной поверхности.

Вариант 1: Кубы выстроены в один ряд

При таком расположении получается параллелепипед с измерениями (длина, ширина, высота): 4 см, 1 см, 1 см.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда находится по формуле: $S = 2(ab + ac + bc)$, где $a, b, c$ — его измерения.

Подставим значения:

$S_1 = 2 \cdot (4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 2 \cdot (4 + 4 + 1) = 2 \cdot 9 = 18$ см².

Ответ: 18 см².

Вариант 2: Кубы расположены квадратом 2 на 2 в один слой

В этом случае получается параллелепипед с измерениями: 2 см, 2 см, 1 см.

Используем ту же формулу для площади полной поверхности:

$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим значения для этого случая:

$S_2 = 2 \cdot (2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2 \cdot (4 + 2 + 2) = 2 \cdot 8 = 16$ см².

Ответ: 16 см².

Таким образом, задача имеет два возможных решения в зависимости от формы полученного параллелепипеда. Площадь полной поверхности может быть равна 18 см² или 16 см².

20.8. Основание прямого параллелепипеда — ромб с острым углом $\alpha$ и меньшей диагональю $d$. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда находится по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем сторону основания (ромба).

Пусть сторона ромба равна $a$. Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Углы ромба делятся диагоналями пополам. Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза равна $a$, один из катетов равен половине меньшей диагонали, то есть $\frac{d}{2}$, а противолежащий этому катету угол равен половине острого угла ромба, то есть $\frac{\alpha}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{a}$

Отсюда выразим сторону ромба $a$:

$a = \frac{d}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$

Периметр основания $P_{осн}$ равен $4a$:

$P_{осн} = 4 \cdot \frac{d}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

2. Найдем высоту параллелепипеда $h$.

Большая диагональ параллелепипеда ($D_{пар}$), его высота ($h$) и большая диагональ основания ($D_{осн}$) образуют прямоугольный треугольник. Угол между большей диагональю параллелепипеда и плоскостью основания, по условию, равен $\beta$. В этом треугольнике:

$\tan \beta = \frac{h}{D_{осн}}$, откуда $h = D_{осн} \cdot \tan \beta$.

Найдем большую диагональ ромба $D_{осн}$. В том же прямоугольном треугольнике, который мы рассматривали в пункте 1, второй катет равен половине большей диагонали, то есть $\frac{D_{осн}}{2}$. Этот катет прилежит к углу $\frac{\alpha}{2}$.

$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{D_{осн}/2}{a}$

$D_{осн} = 2a \cos(\frac{\alpha}{2})$

Подставим найденное ранее выражение для $a$:

$D_{осн} = 2 \cdot \frac{d}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) = d \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = d \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь можем найти высоту $h$:

$h = D_{осн} \cdot \tan \beta = d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta$

3. Найдем площадь боковой поверхности.

Подставим найденные значения $P_{осн}$ и $h$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \left( d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta \right)$

Упростим выражение, зная что $\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$:

$S_{бок} = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \tan \beta = \frac{2d^2 \tan \beta \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $ \frac{2d^2 \tan \beta \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} $

20.9. Основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 6 см и углом 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которого лежит ромб $ABCD$.

По условию, сторона ромба $a = AB = BC = CD = DA = 6$ см, а один из углов равен $60^\circ$. Пусть $\angle BAD = 60^\circ$. Тогда смежный с ним угол ромба $\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Найдем диагонали ромба $d_1$ и $d_2$.

Меньшая диагональ ромба $d_1 = BD$ лежит напротив меньшего угла $\angle BAD$. Треугольник $ABD$ является равнобедренным, так как $AB = AD = 6$ см. Поскольку угол между равными сторонами равен $60^\circ$, треугольник $ABD$ является равносторонним. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна его стороне:

$d_1 = BD = 6$ см.

Большая диагональ ромба $d_2 = AC$ лежит напротив большего угла $\angle ABC = 120^\circ$. Для нахождения ее длины воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$d_2^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)$

$d_2^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-\frac{1}{2})$

$d_2^2 = 72 + 36 = 108$

$d_2 = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Параллелепипед является прямым, это означает, что его боковые ребра перпендикулярны основанию. Пусть высота параллелепипеда равна $H$.

Квадрат диагонали прямого параллелепипеда равен сумме квадрата соответствующей диагонали основания и квадрата высоты. Меньшая диагональ параллелепипеда, $D_{мен}$, соответствует меньшей диагонали основания $d_1$. Ее квадрат равен $D_{мен}^2 = d_1^2 + H^2$.

По условию задачи, меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания, то есть $D_{мен} = d_2$.

Возведем это равенство в квадрат: $D_{мен}^2 = d_2^2$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для $D_{мен}^2$:

$d_1^2 + H^2 = d_2^2$

Подставим найденные значения длин диагоналей основания:

$6^2 + H^2 = (6\sqrt{3})^2$

$36 + H^2 = 108$

$H^2 = 108 - 36$

$H^2 = 72$

$H = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

Периметр основания (ромба) равен:

$P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 24 \cdot 6\sqrt{2} = 144\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $144\sqrt{2}$ см$^2$.

20.10. Стороны основания прямого параллелепипеда равны $2\sqrt{2}$ см и 4 см, а один из углов основания равен $45^\circ$. Большая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямого параллелепипеда равны $a = 2\sqrt{2}$ см и $b = 4$ см, а один из углов основания равен $45°$. Основанием является параллелограмм. В параллелограмме сумма соседних углов равна $180°$, поэтому второй угол основания равен $180° - 45° = 135°$.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту ($h$):

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Для решения задачи нам нужно найти высоту параллелепипеда $h$. Мы можем найти ее, зная диагональ параллелепипеда и соответствующую диагональ основания.

1. Найдем диагонали основания

Диагонали параллелограмма можно найти, используя теорему косинусов. В параллелограмме две разные диагонали: одна ($d_1$) лежит против острого угла, другая ($d_2$) — против тупого.

Найдем меньшую диагональ $d_1$, которая лежит против угла $45°$:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45°) = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2(2\sqrt{2})(4) \frac{\sqrt{2}}{2}$

$d_1^2 = 8 + 16 - 16 = 8$

$d_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Найдем большую диагональ $d_2$, которая лежит против угла $135°$:

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(135°) = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2(2\sqrt{2})(4) (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$d_2^2 = 8 + 16 + 16 = 40$

$d_2 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда

В прямом параллелепипеде его диагональ ($D$), соответствующая диагональ основания ($d$) и высота ($h$) образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $D^2 = d^2 + h^2$.

В задаче дана большая диагональ параллелепипеда, которая равна $D = 7$ см. Она соответствует большей диагонали основания $d_2 = 2\sqrt{10}$ см.

$D^2 = d_2^2 + h^2$

$7^2 = (2\sqrt{10})^2 + h^2$

$49 = 40 + h^2$

$h^2 = 49 - 40 = 9$

$h = 3$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности

Сначала вычислим периметр основания:

$P_{осн} = 2(a + b) = 2(2\sqrt{2} + 4) = 4\sqrt{2} + 8$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4\sqrt{2} + 8) \cdot 3 = 12\sqrt{2} + 24$ см².

Ответ: $24 + 12\sqrt{2}$ см².

20.11. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 2 см и $2\sqrt{3}$ см, а один из углов основания равен $30^\circ$. Площадь диагонального сечения параллелепипеда, проходящего через меньшую диагональ основания, равна 8 см$^2$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем характеристики основания и высоту параллелепипеда.

Основанием является параллелограмм со сторонами $a=2$ см и $b=2\sqrt{3}$ см и острым углом $\alpha=30^\circ$. В параллелограмме есть две диагонали, и меньшая из них лежит против острого угла. Найдем длину меньшей диагонали $d_1$ по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

$d_1^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$

Подставляя значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$d_1^2 = 4 + 12 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Следовательно, меньшая диагональ основания $d_1 = \sqrt{4} = 2$ см.

Диагональное сечение, проходящее через меньшую диагональ основания, является прямоугольником, так как параллелепипед прямой. Стороны этого прямоугольника — это меньшая диагональ основания $d_1$ и высота параллелепипеда $h$. По условию, площадь этого сечения $S_{сеч} = 8$ см².

$S_{сеч} = d_1 \cdot h$

$8 = 2 \cdot h$

Из этого уравнения находим высоту: $h = \frac{8}{2} = 4$ см.

2. Найдем площадь полной поверхности.

Сначала вычислим площадь основания (параллелограмма):

$S_{осн} = ab \sin(\alpha) = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см².

Далее вычислим площадь боковой поверхности. Она равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$:

$P_{осн} = 2(a+b) = 2(2 + 2\sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3}$ см.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4 + 4\sqrt{3}) \cdot 4 = 16 + 16\sqrt{3}$ см².

Наконец, находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (2\sqrt{3}) + (16 + 16\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} + 16 + 16\sqrt{3} = 16 + 20\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16 + 20\sqrt{3}$ см².

20.12. Докажите, что если диагонали прямого параллелепипеда равны, то данный параллелепипед является прямоугольным.

Дано:
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямой параллелепипед.
Диагонали равны, например, $AC_1 = BD_1$.

Доказать:
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед.

Доказательство:

По определению, прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. В нашем случае это означает, что ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $(ABC)$, а основание $ABCD$ является параллелограммом. Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. Таким образом, для доказательства нам нужно показать, что основание $ABCD$ является прямоугольником.

1. Рассмотрим диагональ $AC_1$. Так как параллелепипед прямой, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, $CC_1 \perp AC$. Это означает, что треугольник $\triangle ACC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. По теореме Пифагора для этого треугольника: $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

2. Аналогично рассмотрим диагональ $BD_1$. Боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, следовательно, $DD_1 \perp BD$. Треугольник $\triangle BDD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. По теореме Пифагора для этого треугольника: $BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$

3. По условию задачи, диагонали параллелепипеда равны: $AC_1 = BD_1$. Следовательно, их квадраты также равны: $AC_1^2 = BD_1^2$.

4. Приравняем правые части выражений, полученных в пунктах 1 и 2: $AC^2 + CC_1^2 = BD^2 + DD_1^2$

5. В любом параллелепипеде противолежащие боковые рёбра равны, поэтому $CC_1 = DD_1$. Мы можем вычесть $CC_1^2$ (или равное ему $DD_1^2$) из обеих частей равенства: $AC^2 = BD^2$

6. Поскольку длины отрезков являются положительными числами, из равенства их квадратов следует равенство самих длин: $AC = BD$

7. Отрезки $AC$ и $BD$ являются диагоналями параллелограмма $ABCD$, лежащего в основании. Известно свойство параллелограмма: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.

8. Мы имеем прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. По определению, такой параллелепипед является прямоугольным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если диагонали прямого параллелепипеда равны, то диагонали его основания (которое является параллелограммом) также равны. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Прямой параллелепипед с прямоугольным основанием является прямоугольным параллелепипедом.

20.13. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$ со стороной 6 см, $\angle BAD = 45^\circ$. Через прямую $AD$ и вершину $B_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $60^\circ$. Найдите:

1) боковое ребро параллелепипеда;

2) площадь сечения параллелепипеда плоскостью $AB_1D$.

1) боковое ребро параллелепипеда;

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – данный прямой параллелепипед. Его основание $ABCD$ – ромб со стороной $a = 6$ см и $\angle BAD = 45^\circ$. Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, обозначим его длину $h = BB_1$.

Секущая плоскость проходит через прямую $AD$ и вершину $B_1$. Угол между этой плоскостью и плоскостью основания $ABC$ равен $60^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AD$.

Для нахождения линейного угла двугранного угла между плоскостями, построим перпендикуляры к общей прямой $AD$ в каждой из плоскостей, исходящие из одной точки.

В плоскости основания $ABC$ проведем высоту ромба $BH$ из вершины $B$ к стороне $AD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ катет $BH$ равен:
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAD) = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Так как параллелепипед прямой, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе $BH$. Таким образом, $\triangle BB_1H$ – прямоугольный.

Рассмотрим наклонную $B_1H$. Прямая $BH$ является ее ортогональной проекцией на плоскость $ABC$. Поскольку проекция $BH$ перпендикулярна прямой $AD$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $B_1H$ перпендикулярна $AD$.

Таким образом, угол $\angle B_1HB$ является линейным углом двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания. По условию, $\angle B_1HB = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BB_1H$ (с прямым углом $\angle B$) катет $BB_1$ является боковым ребром параллелепипеда. Найдем его через тангенс угла $\angle B_1HB$:
$\tan(\angle B_1HB) = \frac{BB_1}{BH}$
$BB_1 = BH \cdot \tan(\angle B_1HB) = 3\sqrt{2} \cdot \tan(60^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$ см.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.

2) площадь сечения параллелепипеда плоскостью $AB_1D$.

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B_1$ и $D$, является той же секущей плоскостью, что и в пункте 1), так как она содержит прямую $AD$ и точку $B_1$.

Найдем, какой многоугольник является сечением. Плоскость сечения пересекает нижнее основание $ABCD$ по отрезку $AD$. Так как плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ параллельна плоскости нижнего основания, линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием будет параллельна $AD$. Так как эта линия проходит через точку $B_1$, то это отрезок $B_1C_1$. Таким образом, сечением является четырехугольник $ADC_1B_1$. Поскольку $AD \parallel B_1C_1$ и $AD = B_1C_1 = 6$ см, то сечение $ADC_1B_1$ является параллелограммом.

Площадь сечения можно найти, используя теорему о площади ортогональной проекции: $S_{проекции} = S_{сечения} \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ – угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Ортогональной проекцией сечения $ADC_1B_1$ на плоскость основания $ABC$ является ромб $ABCD$.

Найдем площадь ромба $ABCD$:
$S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = 6 \cdot 6 \cdot \sin(45^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$ см$^2$.

Угол $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью основания по условию равен $60^\circ$.

Тогда площадь сечения $S_{сеч}$ равна:
$S_{сеч} = \frac{S_{ABCD}}{\cos(\alpha)} = \frac{18\sqrt{2}}{\cos(60^\circ)} = \frac{18\sqrt{2}}{1/2} = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Другой способ: Площадь параллелограмма $ADC_1B_1$ равна произведению его основания $AD$ на высоту $B_1H$. Из пункта 1) мы знаем, что $B_1H \perp AD$. Длину $B_1H$ найдем из $\triangle BB_1H$: $B_1H = \frac{BH}{\cos(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = 6\sqrt{2}$ см.
Тогда площадь сечения: $S_{сеч} = AD \cdot B_1H = 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{2}$ см$^2$.

20.14. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм $ABCD$, $AD = 8$ см, $\angle BAD = 30^\circ$. Угол между плоскостями $ABC$ и $A_1CD$ равен $45^\circ$. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Пусть искомая длина бокового ребра прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $h$, то есть $AA_1 = h$. Так как параллелепипед прямой, его боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, в частности $AA_1 \perp (ABC)$. Плоскость $(ABC)$ совпадает с плоскостью основания $(ABCD)$.

Угол между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1CD)$ — это двугранный угол между плоскостью основания $(ABCD)$ и плоскостью $(A_1CD)$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $CD$. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол.

В плоскости основания $(ABCD)$ опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на прямую $CD$. Таким образом, по построению $AH \perp CD$. Длина отрезка $AH$ равна высоте параллелограмма $ABCD$, проведенной к стороне $CD$. Эту высоту можно найти, рассмотрев треугольник, образованный стороной $AD$ и высотой, проведенной из вершины $D$ к стороне $AB$. Пусть $DK$ — высота, опущенная из $D$ на прямую $AB$. В прямоугольном треугольнике $ADK$ с гипотенузой $AD=8$ см и углом $\angle DAK = 30^\circ$: $DK = AD \cdot \sin(\angle DAB)$ Подставляя известные значения, получаем: $DK = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см. Высоты параллелограмма, проведенные к противоположным сторонам, равны, поэтому $AH = DK = 4$ см.

Рассмотрим наклонную $A_1H$ и ее проекцию $AH$ на плоскость $(ABCD)$. Так как $AA_1$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, а проекция $AH$ перпендикулярна прямой $CD$, лежащей в этой плоскости, то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная $A_1H$ перпендикулярна прямой $CD$.

Поскольку $AH \perp CD$ и $A_1H \perp CD$, то угол $\angle A_1HA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABCD)$ и $(A_1CD)$. По условию задачи, этот угол равен $45^\circ$, то есть $\angle A_1HA = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $A_1AH$. Так как $AA_1 \perp (ABCD)$, то $AA_1 \perp AH$, и, следовательно, $\triangle A_1AH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$. В этом треугольнике нам известен катет $AH = 4$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A_1HA = 45^\circ$. Искомое боковое ребро $AA_1$ является противолежащим катетом.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle A_1HA) = \frac{AA_1}{AH}$ Отсюда выражаем $AA_1$: $AA_1 = AH \cdot \tan(\angle A_1HA) = 4 \cdot \tan(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

20.15. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с одной из боковых граней — угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а $c$ — высота. Диагональ параллелепипеда равна $d$.

Угол $\alpha$ между диагональю $d$ и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $d$ на основание является диагональ основания $d_{осн}$. Высота $c$ перпендикулярна основанию. Таким образом, диагональ $d$, ее проекция $d_{осн}$ и высота $c$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $d$ является гипотенузой.

Из этого треугольника, используя определения синуса и косинуса, находим высоту $c$ и диагональ основания $d_{осн}$:
$c = d \sin(\alpha)$
$d_{осн} = d \cos(\alpha)$

Квадрат диагонали основания равен сумме квадратов его сторон: $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$. Следовательно, мы имеем соотношение:
$a^2 + b^2 = (d \cos(\alpha))^2 = d^2 \cos^2(\alpha)$

Угол $\beta$ между диагональю $d$ и одной из боковых граней — это угол между диагональю и ее проекцией на плоскость этой грани. Пусть мы рассматриваем боковую грань, которой перпендикулярно ребро основания $a$. Тогда диагональ $d$, ее проекция на эту боковую грань и ребро $a$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике ребро $a$ является катетом, противолежащим углу $\beta$, а диагональ $d$ — гипотенузой.

Отсюда находим длину стороны $a$:
$a = d \sin(\beta)$

Теперь, зная $a$, мы можем найти вторую сторону основания, $b$. Подставим найденное выражение для $a$ в соотношение для сторон основания:
$(d \sin(\beta))^2 + b^2 = d^2 \cos^2(\alpha)$
$d^2 \sin^2(\beta) + b^2 = d^2 \cos^2(\alpha)$
$b^2 = d^2 \cos^2(\alpha) - d^2 \sin^2(\beta) = d^2(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$
$b = d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$

Площадь боковой поверхности параллелепипеда $S_{бок}$ — это сумма площадей четырех боковых граней, которая вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2ac + 2bc = 2c(a+b)$

Подставим найденные выражения для $a$, $b$ и $c$ в эту формулу:
$S_{бок} = 2(d \sin(\alpha))(d \sin(\beta) + d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})$

Вынесем $d$ за скобки и упростим выражение:
$S_{бок} = 2d^2 \sin(\alpha) (\sin(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})$

Ответ: $2d^2 \sin(\alpha) (\sin(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})$

20.16. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с данной стороной основания — угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ – основание. Пусть сторона основания $AB = a$. Обозначим другую сторону основания $AD$ как $b$, а высоту параллелепипеда $AA_1$ как $h$.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ – периметр основания. Для нашего случая $P_{осн} = 2(a+b)$, следовательно, $S_{бок} = 2(a+b)h$. Для решения задачи нам необходимо найти $b$ и $h$, выразив их через известные величины $a$, $\alpha$ и $\beta$.

Диагональ параллелепипеда – это отрезок $AC_1$. Угол, который диагональ $AC_1$ образует с плоскостью основания $(ABCD)$, – это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией $AC_1$ на плоскость $(ABCD)$ является диагональ основания $AC$. Таким образом, по условию, $\angle C_1AC = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC_1$ (угол $\angle ACC_1 = 90^\circ$, так как $CC_1$ перпендикулярно основанию). В этом треугольнике:
$h = CC_1 = AC_1 \cdot \sin\alpha$ (1)
$AC = AC_1 \cdot \cos\alpha$ (2)

Угол, который диагональ $AC_1$ образует с данной стороной основания $AB$, по условию равен $\beta$, то есть $\angle C_1AB = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $AB$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$. Это означает, что $AB$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой грани, включая прямую $BC_1$. Следовательно, треугольник $\triangle ABC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC_1 = 90^\circ$).

Из прямоугольного треугольника $\triangle ABC_1$ получаем:
$\cos\beta = \frac{AB}{AC_1} = \frac{a}{AC_1}$
Отсюда выразим длину диагонали параллелепипеда $AC_1$:
$AC_1 = \frac{a}{\cos\beta}$ (3)

Теперь мы можем найти высоту $h$. Подставим выражение (3) в (1):
$h = \left(\frac{a}{\cos\beta}\right) \cdot \sin\alpha = \frac{a \sin\alpha}{\cos\beta}$

Далее найдем вторую сторону основания $b$. Сначала найдем длину диагонали основания $AC$, подставив (3) в (2):
$AC = \left(\frac{a}{\cos\beta}\right) \cdot \cos\alpha = \frac{a \cos\alpha}{\cos\beta}$

Основание $ABCD$ – прямоугольник, поэтому из $\triangle ABC$ по теореме Пифагора имеем $AC^2 = AB^2 + BC^2$, то есть $AC^2 = a^2 + b^2$. Отсюда:
$b^2 = AC^2 - a^2$
Подставим найденное выражение для $AC$:
$b^2 = \left(\frac{a \cos\alpha}{\cos\beta}\right)^2 - a^2 = \frac{a^2 \cos^2\alpha}{\cos^2\beta} - a^2 = a^2 \left(\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\beta} - 1\right) = a^2 \frac{\cos^2\alpha - \cos^2\beta}{\cos^2\beta}$
Извлекая квадратный корень, получаем:
$b = \frac{a \sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta}}{\cos\beta}$

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(a+b)h$
Подставим выражения для $b$ и $h$:
$S_{бок} = 2 \left(a + \frac{a \sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta}}{\cos\beta}\right) \cdot \frac{a \sin\alpha}{\cos\beta}$
Вынесем $a$ за скобки в первом множителе:
$S_{бок} = 2a \left(1 + \frac{\sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta}}{\cos\beta}\right) \cdot \frac{a \sin\alpha}{\cos\beta}$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$S_{бок} = 2a \left(\frac{\cos\beta + \sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta}}{\cos\beta}\right) \cdot \frac{a \sin\alpha}{\cos\beta}$
Перемножим все множители:
$S_{бок} = \frac{2a^2 \sin\alpha (\cos\beta + \sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta})}{\cos^2\beta}$

Ответ: $\frac{2a^2 \sin\alpha (\cos\beta + \sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta})}{\cos^2\beta}$