Номер 20.12, страница 217 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.12. Докажите, что если диагонали прямого параллелепипеда равны, то данный параллелепипед является прямоугольным.

Дано:
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямой параллелепипед.
Диагонали равны, например, $AC_1 = BD_1$.

Доказать:
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед.

Доказательство:

По определению, прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. В нашем случае это означает, что ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $(ABC)$, а основание $ABCD$ является параллелограммом. Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. Таким образом, для доказательства нам нужно показать, что основание $ABCD$ является прямоугольником.

1. Рассмотрим диагональ $AC_1$. Так как параллелепипед прямой, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, $CC_1 \perp AC$. Это означает, что треугольник $\triangle ACC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. По теореме Пифагора для этого треугольника: $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

2. Аналогично рассмотрим диагональ $BD_1$. Боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, следовательно, $DD_1 \perp BD$. Треугольник $\triangle BDD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. По теореме Пифагора для этого треугольника: $BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$

3. По условию задачи, диагонали параллелепипеда равны: $AC_1 = BD_1$. Следовательно, их квадраты также равны: $AC_1^2 = BD_1^2$.

4. Приравняем правые части выражений, полученных в пунктах 1 и 2: $AC^2 + CC_1^2 = BD^2 + DD_1^2$

5. В любом параллелепипеде противолежащие боковые рёбра равны, поэтому $CC_1 = DD_1$. Мы можем вычесть $CC_1^2$ (или равное ему $DD_1^2$) из обеих частей равенства: $AC^2 = BD^2$

6. Поскольку длины отрезков являются положительными числами, из равенства их квадратов следует равенство самих длин: $AC = BD$

7. Отрезки $AC$ и $BD$ являются диагоналями параллелограмма $ABCD$, лежащего в основании. Известно свойство параллелограмма: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.

8. Мы имеем прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. По определению, такой параллелепипед является прямоугольным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если диагонали прямого параллелепипеда равны, то диагонали его основания (которое является параллелограммом) также равны. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Прямой параллелепипед с прямоугольным основанием является прямоугольным параллелепипедом.