Номер 20.8, страница 217 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.8. Основание прямого параллелепипеда — ромб с острым углом $\alpha$ и меньшей диагональю $d$. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда находится по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем сторону основания (ромба).

Пусть сторона ромба равна $a$. Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Углы ромба делятся диагоналями пополам. Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза равна $a$, один из катетов равен половине меньшей диагонали, то есть $\frac{d}{2}$, а противолежащий этому катету угол равен половине острого угла ромба, то есть $\frac{\alpha}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{a}$

Отсюда выразим сторону ромба $a$:

$a = \frac{d}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$

Периметр основания $P_{осн}$ равен $4a$:

$P_{осн} = 4 \cdot \frac{d}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

2. Найдем высоту параллелепипеда $h$.

Большая диагональ параллелепипеда ($D_{пар}$), его высота ($h$) и большая диагональ основания ($D_{осн}$) образуют прямоугольный треугольник. Угол между большей диагональю параллелепипеда и плоскостью основания, по условию, равен $\beta$. В этом треугольнике:

$\tan \beta = \frac{h}{D_{осн}}$, откуда $h = D_{осн} \cdot \tan \beta$.

Найдем большую диагональ ромба $D_{осн}$. В том же прямоугольном треугольнике, который мы рассматривали в пункте 1, второй катет равен половине большей диагонали, то есть $\frac{D_{осн}}{2}$. Этот катет прилежит к углу $\frac{\alpha}{2}$.

$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{D_{осн}/2}{a}$

$D_{осн} = 2a \cos(\frac{\alpha}{2})$

Подставим найденное ранее выражение для $a$:

$D_{осн} = 2 \cdot \frac{d}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) = d \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = d \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь можем найти высоту $h$:

$h = D_{осн} \cdot \tan \beta = d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta$

3. Найдем площадь боковой поверхности.

Подставим найденные значения $P_{осн}$ и $h$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \left( d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta \right)$

Упростим выражение, зная что $\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$:

$S_{бок} = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \tan \beta = \frac{2d^2 \tan \beta \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $ \frac{2d^2 \tan \beta \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} $