Номер 20.11, страница 217 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.11. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 2 см и $2\sqrt{3}$ см, а один из углов основания равен $30^\circ$. Площадь диагонального сечения параллелепипеда, проходящего через меньшую диагональ основания, равна 8 см$^2$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем характеристики основания и высоту параллелепипеда.

Основанием является параллелограмм со сторонами $a=2$ см и $b=2\sqrt{3}$ см и острым углом $\alpha=30^\circ$. В параллелограмме есть две диагонали, и меньшая из них лежит против острого угла. Найдем длину меньшей диагонали $d_1$ по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

$d_1^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$

Подставляя значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$d_1^2 = 4 + 12 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Следовательно, меньшая диагональ основания $d_1 = \sqrt{4} = 2$ см.

Диагональное сечение, проходящее через меньшую диагональ основания, является прямоугольником, так как параллелепипед прямой. Стороны этого прямоугольника — это меньшая диагональ основания $d_1$ и высота параллелепипеда $h$. По условию, площадь этого сечения $S_{сеч} = 8$ см².

$S_{сеч} = d_1 \cdot h$

$8 = 2 \cdot h$

Из этого уравнения находим высоту: $h = \frac{8}{2} = 4$ см.

2. Найдем площадь полной поверхности.

Сначала вычислим площадь основания (параллелограмма):

$S_{осн} = ab \sin(\alpha) = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см².

Далее вычислим площадь боковой поверхности. Она равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$:

$P_{осн} = 2(a+b) = 2(2 + 2\sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3}$ см.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4 + 4\sqrt{3}) \cdot 4 = 16 + 16\sqrt{3}$ см².

Наконец, находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (2\sqrt{3}) + (16 + 16\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} + 16 + 16\sqrt{3} = 16 + 20\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16 + 20\sqrt{3}$ см².