Номер 20.18, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.18. Диагональ $AC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ образует с рёбрами $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Докажите, что $cos^2 \alpha + cos^2 \beta + cos^2 \gamma = 1$.

Для доказательства воспользуемся координатным методом. Поместим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ в декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ совпала с началом координат $(0, 0, 0)$, а рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ лежали на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Пусть длины рёбер, выходящих из вершины $A$, равны:

$|AB| = a$

$|AD| = b$

$|AA_1| = c$

В этом случае координаты вершин $A$ и $C_1$ будут:

$A(0, 0, 0)$

$C_1(a, b, c)$

Вектор диагонали $AC_1$ имеет координаты: $\vec{AC_1} = \{a; b; c\}$.

Длина (модуль) этого вектора, которая является длиной диагонали параллелепипеда, равна: $d = |\vec{AC_1}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — это углы между вектором диагонали $\vec{AC_1}$ и векторами рёбер $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ соответственно.

Векторы рёбер, выходящих из начала координат, имеют следующие координаты:

$\vec{AB} = \{a; 0; 0\}$

$\vec{AD} = \{0; b; 0\}$

$\vec{AA_1} = \{0; 0; c\}$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле скалярного произведения: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Найдём косинус угла $\alpha$ между диагональю $AC_1$ и ребром $AB$:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AC_1}| |\vec{AB}|} = \frac{a \cdot a + b \cdot 0 + c \cdot 0}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a^2}} = \frac{a^2}{a \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Найдём косинус угла $\beta$ между диагональю $AC_1$ и ребром $AD$:

$\cos \beta = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AC_1}| |\vec{AD}|} = \frac{a \cdot 0 + b \cdot b + c \cdot 0}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{b^2}} = \frac{b^2}{b \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Найдём косинус угла $\gamma$ между диагональю $AC_1$ и ребром $AA_1$:

$\cos \gamma = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{AA_1}}{|\vec{AC_1}| |\vec{AA_1}|} = \frac{a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{c^2}} = \frac{c^2}{c \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Теперь возведём полученные выражения для косинусов в квадрат и сложим их:

$\cos^2 \alpha = \left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\right)^2 = \frac{a^2}{a^2 + b^2 + c^2}$

$\cos^2 \beta = \left(\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\right)^2 = \frac{b^2}{a^2 + b^2 + c^2}$

$\cos^2 \gamma = \left(\frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\right)^2 = \frac{c^2}{a^2 + b^2 + c^2}$

Суммируя эти значения, получаем:

$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = \frac{a^2}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{b^2}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$.

Таким образом, мы доказали, что $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.

Ответ: что и требовалось доказать.