Номер 20.23, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.23. Через диагональ $BD$ основания $ABCD$ и вершину $C_1$ прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, образующая угол $30^\circ$ с плоскостью основания. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если $BC = 8$ см, $CD = 4$ см, $\angle BCD = 60^\circ$.

По условию задачи дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которого лежит параллелограмм $ABCD$. Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда находится по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда (длина его бокового ребра, например, $CC_1$).

1. Найдем периметр основания.

Основание $ABCD$ — параллелограмм. Его стороны равны $BC = 8$ см и $CD = 4$ см. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому $AD = BC = 8$ см и $AB = CD = 4$ см.

Периметр основания равен:

$P_{осн} = 2 \cdot (BC + CD) = 2 \cdot (8 + 4) = 2 \cdot 12 = 24$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда.

Высота прямого параллелепипеда $h = CC_1$. Для её нахождения используем информацию об угле между плоскостью сечения $(BDC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$.

Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол. Его линейная мера определяется углом между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей ($BD$) в одной точке.

Построим линейный угол. В плоскости основания $(ABC)$ из вершины $C$ опустим перпендикуляр $CH$ на диагональ $BD$. Таким образом, $CH \perp BD$.

Так как параллелепипед прямой, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе $CC_1 \perp CH$.

Прямая $C_1H$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а $CH$ — её проекцией на эту плоскость. Поскольку проекция $CH$ перпендикулярна прямой $BD$, то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная $C_1H$ перпендикулярна $BD$ ($C_1H \perp BD$).

Следовательно, угол $\angle C_1HC$ и есть линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения $(BDC_1)$ и плоскостью основания. По условию, $\angle C_1HC = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle C_1HC$ (угол $\angle C = 90^\circ$). В нем катет $CC_1$ — это искомая высота $h$, а катет $CH$ — высота треугольника $\triangle BCD$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\angle C_1HC) = \frac{CC_1}{CH} \Rightarrow h = CC_1 = CH \cdot \tan(30^\circ)$.

Чтобы найти $h$, необходимо сначала вычислить длину $CH$.

Для этого рассмотрим треугольник $\triangle BCD$ в основании. По теореме косинусов найдем длину диагонали $BD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 16 - 64 \cdot \frac{1}{2} = 80 - 32 = 48$

$BD = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $\triangle BCD$:

$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь этого же треугольника можно выразить через основание $BD$ и высоту $CH$:

$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} BD \cdot CH$

Отсюда выразим и найдем $CH$:

$CH = \frac{2 \cdot S_{\triangle BCD}}{BD} = \frac{2 \cdot 8\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 4$ см.

Теперь можем найти высоту параллелепипеда $h$:

$h = CC_1 = CH \cdot \tan(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности.

Подставим найденные значения периметра основания и высоты в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $32\sqrt{3}$ см$^2$.