Номер 20.16, страница 217 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.16. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с данной стороной основания — угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ – основание. Пусть сторона основания $AB = a$. Обозначим другую сторону основания $AD$ как $b$, а высоту параллелепипеда $AA_1$ как $h$.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ – периметр основания. Для нашего случая $P_{осн} = 2(a+b)$, следовательно, $S_{бок} = 2(a+b)h$. Для решения задачи нам необходимо найти $b$ и $h$, выразив их через известные величины $a$, $\alpha$ и $\beta$.

Диагональ параллелепипеда – это отрезок $AC_1$. Угол, который диагональ $AC_1$ образует с плоскостью основания $(ABCD)$, – это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией $AC_1$ на плоскость $(ABCD)$ является диагональ основания $AC$. Таким образом, по условию, $\angle C_1AC = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC_1$ (угол $\angle ACC_1 = 90^\circ$, так как $CC_1$ перпендикулярно основанию). В этом треугольнике:
$h = CC_1 = AC_1 \cdot \sin\alpha$ (1)
$AC = AC_1 \cdot \cos\alpha$ (2)

Угол, который диагональ $AC_1$ образует с данной стороной основания $AB$, по условию равен $\beta$, то есть $\angle C_1AB = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $AB$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$. Это означает, что $AB$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой грани, включая прямую $BC_1$. Следовательно, треугольник $\triangle ABC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC_1 = 90^\circ$).

Из прямоугольного треугольника $\triangle ABC_1$ получаем:
$\cos\beta = \frac{AB}{AC_1} = \frac{a}{AC_1}$
Отсюда выразим длину диагонали параллелепипеда $AC_1$:
$AC_1 = \frac{a}{\cos\beta}$ (3)

Теперь мы можем найти высоту $h$. Подставим выражение (3) в (1):
$h = \left(\frac{a}{\cos\beta}\right) \cdot \sin\alpha = \frac{a \sin\alpha}{\cos\beta}$

Далее найдем вторую сторону основания $b$. Сначала найдем длину диагонали основания $AC$, подставив (3) в (2):
$AC = \left(\frac{a}{\cos\beta}\right) \cdot \cos\alpha = \frac{a \cos\alpha}{\cos\beta}$

Основание $ABCD$ – прямоугольник, поэтому из $\triangle ABC$ по теореме Пифагора имеем $AC^2 = AB^2 + BC^2$, то есть $AC^2 = a^2 + b^2$. Отсюда:
$b^2 = AC^2 - a^2$
Подставим найденное выражение для $AC$:
$b^2 = \left(\frac{a \cos\alpha}{\cos\beta}\right)^2 - a^2 = \frac{a^2 \cos^2\alpha}{\cos^2\beta} - a^2 = a^2 \left(\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\beta} - 1\right) = a^2 \frac{\cos^2\alpha - \cos^2\beta}{\cos^2\beta}$
Извлекая квадратный корень, получаем:
$b = \frac{a \sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta}}{\cos\beta}$

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(a+b)h$
Подставим выражения для $b$ и $h$:
$S_{бок} = 2 \left(a + \frac{a \sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta}}{\cos\beta}\right) \cdot \frac{a \sin\alpha}{\cos\beta}$
Вынесем $a$ за скобки в первом множителе:
$S_{бок} = 2a \left(1 + \frac{\sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta}}{\cos\beta}\right) \cdot \frac{a \sin\alpha}{\cos\beta}$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$S_{бок} = 2a \left(\frac{\cos\beta + \sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta}}{\cos\beta}\right) \cdot \frac{a \sin\alpha}{\cos\beta}$
Перемножим все множители:
$S_{бок} = \frac{2a^2 \sin\alpha (\cos\beta + \sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta})}{\cos^2\beta}$

Ответ: $\frac{2a^2 \sin\alpha (\cos\beta + \sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\beta})}{\cos^2\beta}$