Номер 20.15, страница 217 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.15. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с одной из боковых граней — угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а $c$ — высота. Диагональ параллелепипеда равна $d$.

Угол $\alpha$ между диагональю $d$ и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $d$ на основание является диагональ основания $d_{осн}$. Высота $c$ перпендикулярна основанию. Таким образом, диагональ $d$, ее проекция $d_{осн}$ и высота $c$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $d$ является гипотенузой.

Из этого треугольника, используя определения синуса и косинуса, находим высоту $c$ и диагональ основания $d_{осн}$:
$c = d \sin(\alpha)$
$d_{осн} = d \cos(\alpha)$

Квадрат диагонали основания равен сумме квадратов его сторон: $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$. Следовательно, мы имеем соотношение:
$a^2 + b^2 = (d \cos(\alpha))^2 = d^2 \cos^2(\alpha)$

Угол $\beta$ между диагональю $d$ и одной из боковых граней — это угол между диагональю и ее проекцией на плоскость этой грани. Пусть мы рассматриваем боковую грань, которой перпендикулярно ребро основания $a$. Тогда диагональ $d$, ее проекция на эту боковую грань и ребро $a$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике ребро $a$ является катетом, противолежащим углу $\beta$, а диагональ $d$ — гипотенузой.

Отсюда находим длину стороны $a$:
$a = d \sin(\beta)$

Теперь, зная $a$, мы можем найти вторую сторону основания, $b$. Подставим найденное выражение для $a$ в соотношение для сторон основания:
$(d \sin(\beta))^2 + b^2 = d^2 \cos^2(\alpha)$
$d^2 \sin^2(\beta) + b^2 = d^2 \cos^2(\alpha)$
$b^2 = d^2 \cos^2(\alpha) - d^2 \sin^2(\beta) = d^2(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$
$b = d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$

Площадь боковой поверхности параллелепипеда $S_{бок}$ — это сумма площадей четырех боковых граней, которая вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2ac + 2bc = 2c(a+b)$

Подставим найденные выражения для $a$, $b$ и $c$ в эту формулу:
$S_{бок} = 2(d \sin(\alpha))(d \sin(\beta) + d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})$

Вынесем $d$ за скобки и упростим выражение:
$S_{бок} = 2d^2 \sin(\alpha) (\sin(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})$

Ответ: $2d^2 \sin(\alpha) (\sin(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})$