Номер 20.14, страница 217 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 20. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 20.14, страница 217.

Условие.

20.14. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм $ABCD$, $AD = 8$ см, $\angle BAD = 30^\circ$. Угол между плоскостями $ABC$ и $A_1CD$ равен $45^\circ$. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомая длина бокового ребра прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $h$, то есть $AA_1 = h$. Так как параллелепипед прямой, его боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, в частности $AA_1 \perp (ABC)$. Плоскость $(ABC)$ совпадает с плоскостью основания $(ABCD)$.

Угол между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1CD)$ — это двугранный угол между плоскостью основания $(ABCD)$ и плоскостью $(A_1CD)$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $CD$. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол.

В плоскости основания $(ABCD)$ опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на прямую $CD$. Таким образом, по построению $AH \perp CD$. Длина отрезка $AH$ равна высоте параллелограмма $ABCD$, проведенной к стороне $CD$. Эту высоту можно найти, рассмотрев треугольник, образованный стороной $AD$ и высотой, проведенной из вершины $D$ к стороне $AB$. Пусть $DK$ — высота, опущенная из $D$ на прямую $AB$. В прямоугольном треугольнике $ADK$ с гипотенузой $AD=8$ см и углом $\angle DAK = 30^\circ$: $DK = AD \cdot \sin(\angle DAB)$ Подставляя известные значения, получаем: $DK = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см. Высоты параллелограмма, проведенные к противоположным сторонам, равны, поэтому $AH = DK = 4$ см.

Рассмотрим наклонную $A_1H$ и ее проекцию $AH$ на плоскость $(ABCD)$. Так как $AA_1$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, а проекция $AH$ перпендикулярна прямой $CD$, лежащей в этой плоскости, то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная $A_1H$ перпендикулярна прямой $CD$.

Поскольку $AH \perp CD$ и $A_1H \perp CD$, то угол $\angle A_1HA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABCD)$ и $(A_1CD)$. По условию задачи, этот угол равен $45^\circ$, то есть $\angle A_1HA = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $A_1AH$. Так как $AA_1 \perp (ABCD)$, то $AA_1 \perp AH$, и, следовательно, $\triangle A_1AH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$. В этом треугольнике нам известен катет $AH = 4$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A_1HA = 45^\circ$. Искомое боковое ребро $AA_1$ является противолежащим катетом.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle A_1HA) = \frac{AA_1}{AH}$ Отсюда выражаем $AA_1$: $AA_1 = AH \cdot \tan(\angle A_1HA) = 4 \cdot \tan(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4$ см.

Ответ: 4 см.