Номер 20.20, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.20. Может ли сечением параллелепипеда являться правильный пятиугольник?

Нет, сечением параллелепипеда не может являться правильный пятиугольник. Докажем это утверждение.

1. Параллелепипед — это многогранник, у которого есть три пары параллельных граней.

2. Когда некоторая плоскость пересекает две параллельные плоскости (в нашем случае — две параллельные грани параллелепипеда), то линии пересечения параллельны друг другу.

3. Из этого следует, что стороны многоугольника, который получается в сечении параллелепипеда, должны быть попарно параллельны. То есть, если секущая плоскость пересекает пару параллельных граней, то в сечении образуется пара параллельных сторон.

4. Сечение в виде пятиугольника означает, что секущая плоскость пересекает 5 граней параллелепипеда. Поскольку у параллелепипеда всего 3 пары граней, то как минимум две пары граней будут пересечены. Например, плоскость может пересечь обе грани из первой пары, обе грани из второй пары и одну грань из третьей пары. Это означает, что в пятиугольном сечении должно быть как минимум две пары параллельных сторон.

5. Теперь рассмотрим свойства правильного пятиугольника. У правильного пятиугольника все стороны равны и все углы равны $108^\circ$. В правильном пятиугольнике нет ни одной пары параллельных сторон. Если бы две стороны были параллельны, то сумма внутренних односторонних углов, образованных этими сторонами и третьей стороной в качестве секущей, должна была бы равняться $180^\circ$. Но все углы равны $108^\circ$, что не удовлетворяет этому условию.

Таким образом, мы приходим к противоречию:

• Свойство сечения параллелепипеда требует, чтобы у пятиугольного сечения было хотя бы две пары параллельных сторон.
• Свойство правильного пятиугольника заключается в том, что у него нет параллельных сторон.

Так как эти два утверждения несовместимы, правильный пятиугольник не может быть сечением параллелепипеда.

Ответ: нет, не может.