Номер 20.26, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.26. Все грани параллелепипеда являются ромбами с острыми углами, равными $60^\circ$. Найдите расстояние между параллельными гранями параллелепипеда, если ребро параллелепипеда равно $a$.

Данный параллелепипед, у которого все грани являются равными ромбами, называется ромбоэдром. По условию, все грани — это ромбы со стороной $a$ и острыми углами, равными $60^\circ$.

Расстояние между параллельными гранями представляет собой высоту параллелепипеда, проведенную к одной из этих граней. В силу того, что все грани являются одинаковыми ромбами, высоты, проведенные к разным граням, будут равны. Следовательно, достаточно найти высоту, опущенную на любую из граней.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ параллелепипеда $ABCDA'B'C'D'$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$. Ребро $AB$ направим вдоль оси $Ox$. Тогда координаты вершины $B$ будут $(a, 0, 0)$.

Ребро $AD$ расположим в плоскости $Oxy$. Так как грань $ABCD$ — это ромб со стороной $a$ и углом $\angle DAB = 60^\circ$, то координаты вершины $D$ вычисляются как $(a \cos 60^\circ, a \sin 60^\circ, 0)$, что дает $D(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$. Таким образом, плоскость основания $ABCD$ совпадает с плоскостью $z=0$.

Пусть координаты вершины $A'$ равны $(x, y, z)$. Длина ребра $|AA'|$ равна $a$, поэтому выполняется равенство $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$.

По условию, все плоские углы при вершине $A$, образованные ребрами, равны $60^\circ$. То есть, $\angle BAA' = 60^\circ$ и $\angle DAA' = 60^\circ$. Для нахождения координат $x$ и $y$ воспользуемся определением скалярного произведения векторов.

Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(a, 0, 0)$, вектор $\vec{AD}$ — $(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, а вектор $\vec{AA'}$ — $(x, y, z)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AA'}$ и $\vec{AB}$ равно $|\vec{AA'}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos 60^\circ$. $x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = a \cdot a \cdot \frac{1}{2}$, откуда $ax = \frac{a^2}{2}$, следовательно, $x = \frac{a}{2}$.

Аналогично, скалярное произведение векторов $\vec{AA'}$ и $\vec{AD}$ равно $|\vec{AA'}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos 60^\circ$. $x \cdot \frac{a}{2} + y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + z \cdot 0 = a \cdot a \cdot \frac{1}{2}$. Подставим найденное значение $x = a/2$: $\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} + y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2}{2}$. $\frac{a^2}{4} + y\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2}{2}$. $y\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$. $y = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь найдем координату $z$ из уравнения длины ребра $AA'$: $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$. $(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{6})^2 + z^2 = a^2$. $\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{36} + z^2 = a^2$. $\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{12} + z^2 = a^2$. $\frac{3a^2 + a^2}{12} + z^2 = a^2$. $\frac{4a^2}{12} + z^2 = a^2 \implies \frac{a^2}{3} + z^2 = a^2$. $z^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$. $z = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Координата $z$ точки $A'$ и есть высота параллелепипеда $h$, опущенная на основание $ABCD$, которое лежит в плоскости $z=0$. Таким образом, расстояние между гранями $ABCD$ и $A'B'C'D'$ равно $h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Так как все грани параллелепипеда идентичны, расстояние между любой парой параллельных граней будет таким же.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.