Номер 20.31, страница 219 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.31. Дан квадрат $ABCD$. Построена окружность с центром в вершине $D$, проходящая через вершины $A$ и $C$. Через середину $M$ стороны $AB$ проведена касательная к этой окружности, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите отношение $BK : KC$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.

По условию, построена окружность с центром в вершине $D$, проходящая через вершины $A$ и $C$. Поскольку $DA$ и $DC$ являются сторонами квадрата, их длины равны, $DA = DC = a$. Следовательно, радиус $R$ данной окружности равен стороне квадрата: $R = a$.

Так как $ABCD$ — квадрат, угол $\angle DAB = 90^\circ$. Это означает, что радиус $DA$ перпендикулярен стороне $AB$ в точке $A$. По определению касательной, прямая $AB$ является касательной к окружности в точке $A$.

Аналогично, угол $\angle DCB = 90^\circ$, поэтому радиус $DC$ перпендикулярен стороне $BC$ в точке $C$. Таким образом, прямая $BC$ является касательной к окружности в точке $C$.

Через середину $M$ стороны $AB$ проведена еще одна касательная к окружности, которая пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Пусть $T$ — точка касания этой прямой с окружностью.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны.

Для точки $M$, из которой проведены касательные к окружности, имеем отрезки $MA$ (на прямой $AB$) и $MT$ (на прямой $MK$). Следовательно, $MT = MA$. Так как $M$ — середина $AB$, то $MA = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$. Значит, $MT = \frac{a}{2}$.

Для точки $K$, из которой проведены касательные к окружности, имеем отрезки $KC$ (на прямой $BC$) и $KT$ (на прямой $MK$). Следовательно, $KT = KC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBK$ (угол $\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора, $MK^2 = MB^2 + BK^2$.

Выразим длины сторон этого треугольника:

• $MB = \frac{a}{2}$, так как $M$ — середина $AB$.
• Длина гипотенузы $MK$ равна сумме длин отрезков $MT$ и $KT$. Используя найденные равенства, получаем: $MK = MT + KT = MA + KC = \frac{a}{2} + KC$.

Точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC = BK + KC$. Отсюда $KC = BC - BK = a - BK$.Подставим это выражение для $KC$ в формулу для $MK$:$MK = \frac{a}{2} + (a - BK) = \frac{3a}{2} - BK$.

Теперь подставим выражения для сторон $MB$ и $MK$ в уравнение теоремы Пифагора:$(\frac{3a}{2} - BK)^2 = (\frac{a}{2})^2 + BK^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $BK$:$\frac{9a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a}{2} \cdot BK + BK^2 = \frac{a^2}{4} + BK^2$

Сократим $BK^2$ в обеих частях уравнения:$\frac{9a^2}{4} - 3a \cdot BK = \frac{a^2}{4}$

Выразим $3a \cdot BK$:$3a \cdot BK = \frac{9a^2}{4} - \frac{a^2}{4}$$3a \cdot BK = \frac{8a^2}{4}$$3a \cdot BK = 2a^2$

Поскольку $a \neq 0$, разделим обе части на $3a$:$BK = \frac{2a^2}{3a} = \frac{2a}{3}$

Теперь найдем длину отрезка $KC$:$KC = a - BK = a - \frac{2a}{3} = \frac{a}{3}$

Искомое отношение $BK : KC$ равно:$\frac{BK}{KC} = \frac{\frac{2a}{3}}{\frac{a}{3}} = 2$Таким образом, $BK : KC = 2:1$.

Ответ: $2:1$