Номер 21.5, страница 224 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.5. Докажите, что в правильной пирамиде:

1) боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания;

2) двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны.

1) боковые ребра образуют равные углы с плоскостью основания;

Пусть дана правильная n-угольная пирамида $SA_1A_2...A_n$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. По определению правильной пирамиды, её основанием является правильный многоугольник $A_1A_2...A_n$, а отрезок $SO$ является её высотой, то есть $SO$ перпендикулярен плоскости основания.

Угол между наклонной (боковым ребром $SA_i$) и плоскостью (основанием пирамиды) — это угол между этой наклонной и её проекцией на данную плоскость. Проекцией вершины $S$ на плоскость основания является точка $O$. Проекцией точки $A_i$ является сама точка $A_i$. Следовательно, проекцией бокового ребра $SA_i$ на плоскость основания является отрезок $OA_i$. Угол между ребром $SA_i$ и плоскостью основания — это угол $\angle SA_iO$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1$, $\triangle SOA_2$, ..., $\triangle SOA_n$. Они являются прямоугольными, так как высота $SO$ перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, проходящей через точку $O$, в том числе и отрезкам $OA_i$.

В этих треугольниках:

1. Катет $SO$ — общий для всех треугольников.

2. Катеты $OA_1, OA_2, ..., OA_n$ равны между собой как радиусы окружности, описанной около правильного многоугольника $A_1A_2...A_n$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, ..., \triangle SOA_n$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности, углов: $\angle SA_1O = \angle SA_2O = ... = \angle SA_nO$.

Таким образом, доказано, что боковые ребра правильной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) двугранные углы пирамиды при ребрах основания равны.

Двугранный угол при ребре основания, например при ребре $A_iA_{i+1}$, образован плоскостью боковой грани $SA_iA_{i+1}$ и плоскостью основания $A_1A_2...A_n$. Величина двугранного угла измеряется его линейным углом.

Для построения линейного угла опустим перпендикуляры на общее ребро $A_iA_{i+1}$ в одной точке из обеих плоскостей. Пусть $M_i$ — середина ребра $A_iA_{i+1}$.

В плоскости основания, в правильном многоугольнике $A_1A_2...A_n$, отрезок $OM_i$ соединяет центр с серединой стороны, а значит является апофемой и перпендикулярен этой стороне: $OM_i \perp A_iA_{i+1}$.

Рассмотрим боковую грань $\triangle SA_iA_{i+1}$. Так как пирамида правильная, все её боковые рёбра равны ($SA_i = SA_{i+1}$). Следовательно, грань $\triangle SA_iA_{i+1}$ является равнобедренным треугольником. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Отрезок $SM_i$ — медиана, значит $SM_i \perp A_iA_{i+1}$. Отрезок $SM_i$ называется апофемой пирамиды.

Поскольку $OM_i \perp A_iA_{i+1}$ и $SM_i \perp A_iA_{i+1}$, то угол $\angle SM_iO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $A_iA_{i+1}$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOM_1, \triangle SOM_2, ..., \triangle SOM_n$. Они являются прямоугольными, так как высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания и, следовательно, отрезкам $OM_i$.

В этих треугольниках:

1. Катет $SO$ — общий.

2. Катеты $OM_1, OM_2, ..., OM_n$ равны как радиусы окружности, вписанной в правильный многоугольник основания (апофемы правильного многоугольника).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle SOM_1, \triangle SOM_2, ..., \triangle SOM_n$ равны по двум катетам. Из их равенства следует и равенство соответствующих углов: $\angle SM_1O = \angle SM_2O = ... = \angle SM_nO$.

Таким образом, доказано, что двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.