Номер 21.6, страница 224 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.6. Докажите, что если вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности основания, то двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны.

Доказательство:

Пусть S — вершина пирамиды, а многоугольник, лежащий в основании, может быть вписан в окружность. Пусть SO — высота пирамиды, где O — проекция вершины S на плоскость основания. По условию, точка O является центром вписанной в основание окружности. Обозначим высоту пирамиды $SO = h$, а радиус вписанной в основание окружности — $r$.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. Рассмотрим произвольное ребро основания, например $l$, и соответствующую ему боковую грань.

Для измерения этого двугранного угла построим его линейный угол. Для этого из точки O (центра вписанной окружности) опустим перпендикуляр OK на ребро $l$. По определению центра вписанной окружности, точка O равноудалена от всех сторон многоугольника-основания, поэтому длина этого перпендикуляра равна радиусу вписанной окружности: $OK = r$.

Соединим точки S и K. Отрезок SO является высотой пирамиды, следовательно, он перпендикулярен плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и отрезку OK. Таким образом, треугольник $\triangle SOK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SOK$.

Рассмотрим наклонную SK и её проекцию OK на плоскость основания. Так как проекция OK перпендикулярна прямой $l$ (по построению), то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная SK перпендикулярна этой прямой: $SK \perp l$.

Таким образом, мы имеем два отрезка, OK и SK, которые перпендикулярны ребру двугранного угла $l$ в одной и той же точке K. Отрезок OK лежит в плоскости основания, а отрезок SK — в плоскости боковой грани. Следовательно, угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $l$.

Найдём величину этого угла из прямоугольного треугольника $\triangle SOK$. Тангенс угла $\angle SKO$ равен отношению противолежащего катета SO к прилежащему катету OK:

$\tan(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{h}{r}$

Так как ребро основания $l$ было выбрано произвольно, данное рассуждение справедливо для любого ребра основания. Для каждого ребра мы можем построить аналогичный прямоугольный треугольник, катетами которого будут высота пирамиды $h$ и радиус вписанной окружности $r$.

Следовательно, тангенсы линейных углов всех двугранных углов при рёбрах основания равны одной и той же величине $\frac{h}{r}$. Поскольку в пирамиде эти углы являются острыми, из равенства их тангенсов следует и равенство самих углов.

Таким образом, все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все двугранные углы при ребрах основания равны, так как их линейные углы являются острыми углами в равных по двум катетам прямоугольных треугольниках. Катеты этих треугольников равны высоте пирамиды и радиусу вписанной в основание окружности.