Номер 21.13, страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.13. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Нахождение площади основания.

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь такого треугольника находится по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

2. Нахождение площади боковой поверхности.

Боковая поверхность состоит из трех равных равнобедренных треугольников. Площадь одного такого треугольника (боковой грани) равна $S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot h_s$, где $h_s$ — апофема пирамиды (высота боковой грани). Тогда площадь всей боковой поверхности: $S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = \frac{3}{2} a \cdot h_s$.

Для нахождения апофемы $h_s$ используем двугранный угол $\alpha$ при ребре основания. Пусть пирамида называется $SABC$, где $ABC$ — основание. Пусть $SO$ — высота пирамиды, а $SM$ — апофема, проведенная к стороне $BC$. Тогда $OM$ — это проекция апофемы $SM$ на плоскость основания. Угол между апофемой и ее проекцией, $\angle SMO$, является линейным углом двугранного угла при ребре основания $BC$. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ ($\angle O = 90^\circ$). Катет $OM$ является радиусом вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен: $OM = r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $SOM$ выразим апофему $SM = h_s$: $\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM} \implies h_s = SM = \frac{OM}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)}$.

Теперь подставим найденное значение апофемы в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{3}{2} a \cdot h_s = \frac{3}{2} a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{12\cos(\alpha)} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4\cos(\alpha)}$.

3. Нахождение площади полной поверхности.

Сложим площади основания и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{3}}{4\cos(\alpha)}$.

Вынесем общий множитель $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ за скобки, чтобы упростить выражение: $S_{полн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)}\right)$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)}\right)$.