gdz.top
Номер 21.14, страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Многогранники. Параграф 21. Пирамида - номер 21.14, страница 225.
№21.13
№21.14 (с. 225)
Условие. №21.14 (с. 225)
21.14. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $d$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Решение. №21.14 (с. 225)
Решение 2. №21.14 (с. 225)
Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади её основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$
В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Диагональ основания $d$ связана со стороной квадрата $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. Отсюда мы можем выразить сторону квадрата:
$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$
Площадь основания $S_{осн}$ равна квадрату его стороны:
$S_{осн} = a^2 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{d^2}{2}$
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной пирамиды можно найти, используя площадь основания и заданный двугранный угол $\alpha$ при ребре основания. Площадь основания является ортогональной проекцией боковой поверхности на плоскость основания, поэтому для правильной пирамиды справедливо соотношение:
$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos(\alpha)$
Из этого соотношения выражаем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)} = \frac{d^2/2}{\cos(\alpha)} = \frac{d^2}{2\cos(\alpha)}$
Теперь мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади основания и боковой поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{d^2}{2} + \frac{d^2}{2\cos(\alpha)}$
Вынесем общий множитель $\frac{d^2}{2}$ за скобки и приведём выражение к общему знаменателю:
$S_{полн} = \frac{d^2}{2} \left(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)}\right) = \frac{d^2}{2} \left(\frac{\cos(\alpha) + 1}{\cos(\alpha)}\right) = \frac{d^2(1 + \cos\alpha)}{2\cos\alpha}$
Ответ: $\frac{d^2(1 + \cos\alpha)}{2\cos\alpha}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 21.14 расположенного на странице 225 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №21.14 (с. 225), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.