Номер 21.7, страница 224 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.7. Докажите, что если вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания, то все боковые рёбра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а многоугольник $A_1A_2...A_n$ — её основание. Пусть $O$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания. По условию задачи, точка $O$ является центром окружности, описанной около основания.

По определению, центр описанной окружности равноудалён от всех вершин многоугольника-основания. Следовательно, расстояния от точки $O$ до вершин основания равны радиусу $R$ этой окружности:
$OA_1 = OA_2 = ... = OA_n = R$.

Углом между наклонной (боковым ребром) и плоскостью является угол между этой наклонной и её проекцией на данную плоскость. Поскольку $O$ — проекция точки $S$ на плоскость основания, а точки $A_1, A_2, ..., A_n$ лежат в этой плоскости, то отрезки $OA_1, OA_2, ..., OA_n$ являются проекциями боковых рёбер $SA_1, SA_2, ..., SA_n$ соответственно. Таким образом, искомые углы — это $\angle SA_1O, \angle SA_2O, ..., \angle SA_nO$. Нам необходимо доказать, что они равны.

Рассмотрим треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, ..., \triangle SOA_n$. Так как $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания (по определению проекции), то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $O$. В частности, $SO \perp OA_1$, $SO \perp OA_2$, и так далее. Следовательно, все треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, ..., \triangle SOA_n$ являются прямоугольными, где прямой угол — $\angle SOA_i$.

Сравним эти прямоугольные треугольники.
Катет $SO$ является общим для всех этих треугольников (это высота пирамиды).
Катеты $OA_1, OA_2, ..., OA_n$ равны между собой как радиусы описанной окружности основания.

Таким образом, все прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, ..., \triangle SOA_n$ равны по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В данном случае, нас интересуют острые углы при вершинах основания: $\angle SA_1O, \angle SA_2O, ..., \angle SA_nO$. В равных треугольниках они равны. Это можно показать, например, через тангенс угла, который равен отношению противолежащего катета $SO$ к прилежащему катету $OA_i$:
$\tan(\angle SA_iO) = \frac{SO}{OA_i} = \frac{h}{R}$, где $h$ - высота пирамиды.
Поскольку это отношение одинаково для всех $i=1, ..., n$, то и сами углы равны.

Следовательно, все боковые рёбра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Боковые рёбра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания, поскольку они являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников. Эти треугольники образованы боковым ребром, его проекцией на основание и высотой пирамиды. Равенство треугольников следует из того, что у них общий катет (высота пирамиды) и равные вторые катеты (проекции рёбер, которые равны радиусу описанной окружности основания).