Номер 21.9, страница 224 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.9. Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью её основания.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей), тогда $SO$ — высота пирамиды.

Двугранный угол при ребре основания, например при ребре $CD$, — это угол между плоскостью боковой грани $(SCD)$ и плоскостью основания $(ABCD)$. Для нахождения его линейного угла построим перпендикуляры к общему ребру $CD$. Пусть $M$ — середина ребра $CD$. Так как пирамида правильная, боковая грань $\triangle SCD$ является равнобедренным треугольником, и его медиана $SM$ также является высотой, то есть $SM \perp CD$. В плоскости основания отрезок $OM$, соединяющий центр квадрата с серединой стороны, перпендикулярен этой стороне: $OM \perp CD$.

Следовательно, линейный угол двугранного угла при ребре $CD$ — это угол $\angle SMO$. По условию задачи, $\angle SMO = \alpha$.

Угол между боковым ребром (например, $SC$) и плоскостью основания — это угол между этим ребром и его проекцией на плоскость основания. Проекцией вершины $S$ на плоскость основания является точка $O$, поэтому проекцией ребра $SC$ на плоскость основания является отрезок $OC$. Искомый угол — это $\angle SCO$. Обозначим его через $\beta$.

Для проведения вычислений введём параметр. Пусть сторона основания пирамиды равна $2a$, то есть $AD = 2a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (с прямым углом при вершине $O$). Катет $OM$ равен половине стороны основания: $OM = \frac{1}{2}AD = a$. Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике получаем:

$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{SO}{a}$

Отсюда выразим высоту пирамиды $SO$:

$SO = a \cdot \tan(\alpha)$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOC$ (с прямым углом при вершине $O$). Катет $OC$ является половиной диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ квадрата со стороной $2a$ равна $AC = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}$. Тогда катет $OC$ равен:

$OC = \frac{1}{2}AC = a\sqrt{2}$

В треугольнике $\triangle SOC$ тангенс искомого угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета $SO$ к прилежащему катету $OC$:

$\tan(\beta) = \frac{SO}{OC}$

Подставим найденные выражения для $SO$ и $OC$:

$\tan(\beta) = \frac{a \cdot \tan(\alpha)}{a\sqrt{2}} = \frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{2}}$

Таким образом, искомый угол $\beta$ можно найти через арктангенс:

$\beta = \arctan\left(\frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{2}}\right)$

Ответ: $ \arctan\left(\frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{2}}\right) $