Номер 21.10, страница 224 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.10. Точки D, E и F — середины рёбер AB, AM и MC правильной пирамиды MABC соответственно, $AB = 8 \text{ см}$, $AM = 12 \text{ см}$.

1) Постройте сечение пирамиды, проходящее через точки D, E и F.

2) Найдите площадь сечения.

1) Постройте сечение пирамиды, проходящее через точки D, E и F.

1. Соединим точки D и E, так как они лежат в одной плоскости грани MAB. Так как D и E — середины рёбер AB и AM соответственно, то отрезок DE является средней линией треугольника MAB. Из свойства средней линии следует, что отрезок DE параллелен ребру MB и равен его половине: $DE \parallel MB$, $DE = \frac{1}{2}MB$.

2. Плоскость сечения проходит через точку F и через прямую DE, которая параллельна MB. Так как прямая MB лежит в плоскости грани MBC, то секущая плоскость пересекает грань MBC по прямой, проходящей через точку F и параллельной MB. Проведём через точку F прямую, параллельную MB, до пересечения с ребром BC в точке G. Так как F — середина MC и $FG \parallel MB$, то по теореме Фалеса точка G является серединой ребра BC. Отрезок FG — след сечения на грани MBC.

3. Соединим точки D и G, так как они обе лежат в плоскости основания ABC. Так как D и G — середины рёбер AB и BC, то отрезок DG является средней линией треугольника ABC. Следовательно, $DG \parallel AC$ и $DG = \frac{1}{2}AC$.

4. Соединим точки E и F. Так как E и F — середины рёбер AM и MC, то отрезок EF является средней линией треугольника AMC. Следовательно, $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$.

5. Таким образом, искомое сечение — это четырёхугольник DEFG. Так как $DE \parallel MB$ и $FG \parallel MB$, то $DE \parallel FG$. Так как $DG \parallel AC$ и $EF \parallel AC$, то $EF \parallel DG$. Поскольку противолежащие стороны четырёхугольника попарно параллельны, DEFG является параллелограммом.

Ответ: Сечением является параллелограмм DEFG, где G — середина ребра BC.

2) Найдите площадь сечения.

Как было установлено в пункте 1, сечение DEFG является параллелограммом. Найдём длины его смежных сторон DE и EF.

Пирамида MABC — правильная, значит все её боковые рёбра равны: $MA = MB = MC = 12$ см. Основание ABC — равносторонний треугольник, все его стороны равны: $AB = BC = AC = 8$ см.

Длина стороны DE, как средней линии треугольника MAB, равна половине длины стороны MB:
$DE = \frac{1}{2}MB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Длина стороны EF, как средней линии треугольника AMC, равна половине длины стороны AC:
$EF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними. Найдём угол между сторонами DE и EF. Этот угол равен углу между прямыми MB и AC, так как $DE \parallel MB$ и $EF \parallel AC$.

Докажем, что прямые MB и AC перпендикулярны. Пусть K — середина ребра AC. В равностороннем треугольнике ABC медиана BK является также и высотой, следовательно, $BK \perp AC$. В равнобедренном треугольнике AMC ($MA=MC$) медиана MK является также и высотой, следовательно, $MK \perp AC$. Поскольку прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BK и MK, лежащим в плоскости MBK, то прямая AC перпендикулярна всей плоскости MBK. Прямая MB лежит в плоскости MBK. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой MB ($AC \perp MB$).

Таким образом, угол между прямыми MB и AC равен $90^\circ$. Значит, и угол между DE и EF равен $90^\circ$. Следовательно, параллелограмм DEFG является прямоугольником.

Площадь прямоугольника DEFG равна произведению длин его смежных сторон:
$S_{DEFG} = DE \cdot EF = 6 \cdot 4 = 24$ см$^2$.

Ответ: $24$ см$^2$.