Номер 21.16, страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.16. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, а каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, где основанием является прямоугольник ABCD со сторонами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Пусть SO – высота пирамиды, опущенная из вершины S на плоскость основания.

По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60°$. Угол между наклонной (боковым ребром) и плоскостью – это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекциями боковых ребер SA, SB, SC, SD на плоскость основания ABCD являются отрезки OA, OB, OC, OD соответственно. Таким образом, $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = \angle SDO = 60°$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC$ и $\triangle SOD$ (они прямоугольные, так как SO – перпендикуляр к плоскости основания). У этих треугольников общий катет SO (высота пирамиды) и равные острые углы при основании ($60°$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и противолежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $OA = OB = OC = OD$.

Равенство отрезков $OA, OB, OC, OD$ означает, что точка O (основание высоты) равноудалена от всех вершин прямоугольника. В прямоугольнике такой точкой является точка пересечения его диагоналей. Таким образом, O – центр прямоугольника ABCD.

Найдем длину отрезка OA. Этот отрезок равен половине диагонали прямоугольника. Найдем длину диагонали AC по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:

$d = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Тогда длина проекции бокового ребра на основание равна:

$OA = \frac{1}{2} AC = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. Нам известен катет $OA = 5$ см и угол $\angle SAO = 60°$. Высота пирамиды H является катетом SO. Найдем его, используя тангенс угла:

$\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA}$

$H = SO = OA \cdot \tan(60°)$

Так как $\tan(60°) = \sqrt{3}$, получаем:

$H = 5 \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.