Страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.11. Постройте сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через основание её высоты и параллельной скрещивающимся рёбрам пирамиды. Найдите периметр этого сечения, если сторона основания пирамиды равна 9 см, а боковое ребро равно 12 см.

Построение сечения

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с основанием ABC и вершиной S. SO — высота пирамиды, где O — центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис равностороннего треугольника ABC). По условию, сторона основания $a = AB = BC = CA = 9$ см, а боковое ребро $l = SA = SB = SC = 12$ см.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку O и параллельна скрещивающимся рёбрам, в качестве которых выберем боковое ребро SA и ребро основания BC.

Построим сечение, используя свойство параллельности прямой и плоскости:

1. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна прямой BC и проходит через точку O, она пересекает плоскость основания ABC по прямой, проходящей через O и параллельной BC. Проведём в плоскости ABC прямую MN, где $M \in AB$ и $N \in AC$, такую что $MN \parallel BC$. Отрезок MN — одна из сторон искомого сечения.
2. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна ребру SA и проходит через точку M, она пересекает плоскость боковой грани SAB по прямой, проходящей через M и параллельной SA. Проведём в плоскости SAB прямую MK, где $K \in SB$, такую что $MK \parallel SA$. Отрезок MK — вторая сторона сечения.
3. Аналогично, в плоскости боковой грани SAC проведём через точку N прямую NP, где $P \in SC$, такую что $NP \parallel SA$. Отрезок NP — третья сторона сечения.
4. Соединим точки K и P, лежащие в плоскости грани SBC. Отрезок KP является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью SBC и является четвёртой стороной сечения.

Полученный четырёхугольник MNKP — искомое сечение.

Определим вид этого четырёхугольника. По построению $MK \parallel SA$ и $NP \parallel SA$, следовательно, $MK \parallel NP$. Чтобы доказать, что MNKP — параллелограмм, покажем, что $MN \parallel KP$.

В треугольнике ABC точка O является центроидом. Медиана, проведённая из вершины A к стороне BC (пусть это $AA_1$), делится точкой O в отношении $AO:OA_1 = 2:1$. Так как $MN \parallel BC$, то по теореме о пропорциональных отрезках $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{AO}{AA_1} = \frac{2}{3}$.
Из подобия следует, что $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{3}$, откуда $BM = AB - AM = \frac{1}{3}AB$ и $CN = AC - AN = \frac{1}{3}AC$.
В грани SAB из $MK \parallel SA$ следует, что $\triangle BKM \sim \triangle BSA$, поэтому $\frac{BK}{BS} = \frac{BM}{BA} = \frac{1}{3}$.
В грани SAC из $NP \parallel SA$ следует, что $\triangle CNP \sim \triangle CSA$, поэтому $\frac{CP}{CS} = \frac{CN}{CA} = \frac{1}{3}$.
Рассмотрим грань SBC. Так как $\frac{SB-SK}{SB} = \frac{BK}{BS} = \frac{1}{3}$, то $\frac{SK}{SB} = \frac{2}{3}$. Аналогично, $\frac{SP}{SC} = \frac{2}{3}$.
Поскольку $\frac{SK}{SB} = \frac{SP}{SC}$, по теореме, обратной теореме Фалеса, $KP \parallel BC$. Так как $MN \parallel BC$ и $KP \parallel BC$, то $MN \parallel KP$.
Поскольку у четырёхугольника MNKP противоположные стороны попарно параллельны ($MK \parallel NP$ и $MN \parallel KP$), он является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм MNKP, у которого стороны MN и KP параллельны ребру основания BC, а стороны MK и NP параллельны боковому ребру SA.

Нахождение периметра сечения

Периметр параллелограмма MNKP равен $P = 2(MN + MK)$. Найдём длины его смежных сторон.

1. Найдём длину стороны MN. Из подобия $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $k = 2/3$ следует:
$MN = \frac{2}{3} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.

2. Найдём длину стороны MK. Из подобия $\triangle BKM \sim \triangle BSA$ с коэффициентом $k' = \frac{BM}{BA} = 1/3$ следует:
$MK = \frac{1}{3} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.

3. Теперь можем вычислить периметр сечения:
$P_{MNKP} = 2(MN + MK) = 2(6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

21.12. Угол между двумя апофемами правильной треугольной пирамиды равен 60°. Докажите, что боковые грани пирамиды являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $S$ – вершина, а $\triangle ABC$ – основание. Так как пирамида правильная, её основание является равносторонним треугольником, а все боковые грани – равными между собой равнобедренными треугольниками.

Обозначим апофемы (высоты боковых граней), проведенные из вершины $S$ к сторонам основания $AB$ и $AC$, как $SK$ и $SL$ соответственно. По определению правильной пирамиды, все её апофемы равны, следовательно, $SK = SL$.

Рассмотрим треугольник $KSL$. Поскольку $SK = SL$, этот треугольник является равнобедренным. По условию задачи, угол между апофемами $\angle KSL = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Таким образом, $\triangle KSL$ – равносторонний, и $SK = SL = KL$.

В боковых гранях $\triangle SAB$ и $\triangle SAC$, которые являются равнобедренными треугольниками ($SA=SB$ и $SA=SC$), высоты $SK$ и $SL$ также являются медианами. Это означает, что точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно.

Следовательно, в треугольнике-основании $\triangle ABC$ отрезок $KL$ является средней линией. По свойству средней линии, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна: $KL = \frac{1}{2}BC$.

Пусть сторона основания пирамиды равна $a$, то есть $AB = BC = AC = a$. Тогда из предыдущего пункта следует, что $KL = \frac{a}{2}$. А так как мы установили, что $\triangle KSL$ равносторонний, то длина апофемы $SK$ также равна $\frac{a}{2}$, то есть $SK = \frac{a}{2}$.

Теперь рассмотрим одну из боковых граней, например, $\triangle SAB$. В этом треугольнике $SK$ является высотой, опущенной на основание $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SKA$ (угол $\angle SKA = 90^\circ$). Длина катета $AK$ равна половине стороны $AB$, так как $K$ – её середина, то есть $AK = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$. Длину второго катета $SK$ мы нашли ранее: $SK = \frac{a}{2}$.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике $\triangle SKA$ катеты равны ($AK = SK = \frac{a}{2}$). Это означает, что $\triangle SKA$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны $45^\circ$, в частности, $\angle ASK = 45^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $SAB$ высота $SK$ является также и биссектрисой угла $\angle ASB$. Следовательно, полный угол при вершине $S$ равен:$\angle ASB = 2 \cdot \angle ASK = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Мы доказали, что боковая грань $\triangle SAB$ – это равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине. Так как все боковые грани правильной пирамиды равны между собой, то все они являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

21.13. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Нахождение площади основания.

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь такого треугольника находится по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

2. Нахождение площади боковой поверхности.

Боковая поверхность состоит из трех равных равнобедренных треугольников. Площадь одного такого треугольника (боковой грани) равна $S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot h_s$, где $h_s$ — апофема пирамиды (высота боковой грани). Тогда площадь всей боковой поверхности: $S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = \frac{3}{2} a \cdot h_s$.

Для нахождения апофемы $h_s$ используем двугранный угол $\alpha$ при ребре основания. Пусть пирамида называется $SABC$, где $ABC$ — основание. Пусть $SO$ — высота пирамиды, а $SM$ — апофема, проведенная к стороне $BC$. Тогда $OM$ — это проекция апофемы $SM$ на плоскость основания. Угол между апофемой и ее проекцией, $\angle SMO$, является линейным углом двугранного угла при ребре основания $BC$. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ ($\angle O = 90^\circ$). Катет $OM$ является радиусом вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен: $OM = r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $SOM$ выразим апофему $SM = h_s$: $\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM} \implies h_s = SM = \frac{OM}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)}$.

Теперь подставим найденное значение апофемы в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{3}{2} a \cdot h_s = \frac{3}{2} a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{12\cos(\alpha)} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4\cos(\alpha)}$.

3. Нахождение площади полной поверхности.

Сложим площади основания и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{3}}{4\cos(\alpha)}$.

Вынесем общий множитель $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ за скобки, чтобы упростить выражение: $S_{полн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)}\right)$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)}\right)$.

21.14. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $d$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади её основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Диагональ основания $d$ связана со стороной квадрата $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. Отсюда мы можем выразить сторону квадрата:

$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Площадь основания $S_{осн}$ равна квадрату его стороны:

$S_{осн} = a^2 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{d^2}{2}$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной пирамиды можно найти, используя площадь основания и заданный двугранный угол $\alpha$ при ребре основания. Площадь основания является ортогональной проекцией боковой поверхности на плоскость основания, поэтому для правильной пирамиды справедливо соотношение:

$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos(\alpha)$

Из этого соотношения выражаем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)} = \frac{d^2/2}{\cos(\alpha)} = \frac{d^2}{2\cos(\alpha)}$

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{d^2}{2} + \frac{d^2}{2\cos(\alpha)}$

Вынесем общий множитель $\frac{d^2}{2}$ за скобки и приведём выражение к общему знаменателю:

$S_{полн} = \frac{d^2}{2} \left(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)}\right) = \frac{d^2}{2} \left(\frac{\cos(\alpha) + 1}{\cos(\alpha)}\right) = \frac{d^2(1 + \cos\alpha)}{2\cos\alpha}$

Ответ: $\frac{d^2(1 + \cos\alpha)}{2\cos\alpha}$.

21.15. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 32 см. Высота пирамиды равна 12 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если они образуют равные углы с плоскостью основания.

Пусть дана пирамида $SABC$, где основание $ABC$ — прямоугольный треугольник, а $S$ — вершина пирамиды. Проведем высоту $SO$ к плоскости основания, где $O$ — проекция вершины $S$. По условию, высота $SO = 12$ см.

Боковые рёбра пирамиды ($SA$, $SB$, $SC$) образуют равные углы с плоскостью основания. Угол между ребром и плоскостью — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекциями рёбер $SA$, $SB$ и $SC$ на плоскость основания являются отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ соответственно. Таким образом, по условию $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA$, $\triangle SOB$ и $\triangle SOC$. Они являются прямоугольными, так как $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания. В этих треугольниках катет $SO$ является общим, а острые углы $\angle SAO$, $\angle SBO$, $\angle SCO$ равны. Следовательно, эти треугольники равны по катету и противолежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы и вторые катеты также равны:

$SA = SB = SC$ (боковые рёбра равны).

$OA = OB = OC$.

Условие $OA = OB = OC$ означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Поскольку треугольник $ABC$ — прямоугольный, центр описанной около него окружности лежит на середине его гипотенузы. По условию, длина гипотенузы равна 32 см. Следовательно, радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы:

$R = OA = OB = OC = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь мы можем найти длину любого бокового ребра, используя теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников, например, для $\triangle SOA$. В этом треугольнике катеты $SO = 12$ см и $OA = 16$ см, а гипотенуза — боковое ребро $SA$.

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$SA^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$

$SA = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как все боковые рёбра равны, то длина каждого из них составляет 20 см.

Ответ: 20 см.

21.16. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, а каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, где основанием является прямоугольник ABCD со сторонами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Пусть SO – высота пирамиды, опущенная из вершины S на плоскость основания.

По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60°$. Угол между наклонной (боковым ребром) и плоскостью – это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекциями боковых ребер SA, SB, SC, SD на плоскость основания ABCD являются отрезки OA, OB, OC, OD соответственно. Таким образом, $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = \angle SDO = 60°$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC$ и $\triangle SOD$ (они прямоугольные, так как SO – перпендикуляр к плоскости основания). У этих треугольников общий катет SO (высота пирамиды) и равные острые углы при основании ($60°$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и противолежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $OA = OB = OC = OD$.

Равенство отрезков $OA, OB, OC, OD$ означает, что точка O (основание высоты) равноудалена от всех вершин прямоугольника. В прямоугольнике такой точкой является точка пересечения его диагоналей. Таким образом, O – центр прямоугольника ABCD.

Найдем длину отрезка OA. Этот отрезок равен половине диагонали прямоугольника. Найдем длину диагонали AC по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:

$d = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Тогда длина проекции бокового ребра на основание равна:

$OA = \frac{1}{2} AC = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. Нам известен катет $OA = 5$ см и угол $\angle SAO = 60°$. Высота пирамиды H является катетом SO. Найдем его, используя тангенс угла:

$\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA}$

$H = SO = OA \cdot \tan(60°)$

Так как $\tan(60°) = \sqrt{3}$, получаем:

$H = 5 \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.

21.17. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$ такой, что $\angle ABC = 120^{\circ}$, $AB = BC$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$ и равно $8$ см. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть $DABC$ — данная пирамида. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$ и $\angle ABC = 120^\circ$. Каждое боковое ребро ($DA$, $DB$, $DC$) равно 8 см и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны и наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то вершина пирамиды $D$ проецируется в центр окружности, описанной около треугольника-основания. Обозначим эту точку проекции как $O$. Таким образом, $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, и отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются радиусами этой окружности ($R$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DOA$ (где $DO$ — высота пирамиды). Угол между боковым ребром $DA$ и его проекцией $OA$ на плоскость основания — это и есть угол наклона ребра к плоскости, то есть $\angle DAO = 45^\circ$.

Из треугольника $\triangle DOA$ мы можем найти радиус описанной окружности $R = OA$:
$R = OA = DA \cdot \cos(\angle DAO) = 8 \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная радиус описанной окружности, мы можем найти стороны основания. Воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $ABC$: $\frac{a}{\sin A} = 2R$.
Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный, углы при основании $AC$ равны:
$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Найдем длину стороны $AB$:
$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = 2R$
$AB = 2R \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot (4\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Так как $AB = BC$, то $BC = 4\sqrt{2}$ см.

Площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника $ABC$, можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$
Подставим найденные значения:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2}) \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (16 \cdot 2) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $8\sqrt{3} \text{ см}^2$.

21.18. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $3\sqrt{10}$ см, а основание — 6 см. Высота пирамиды равна 5 см, а её боковые рёбра равны. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, где основание $ABC$ — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $AC = BC = 3\sqrt{10}$ см и основанием $AB = 6$ см. Высота пирамиды $SO = 5$ см, где $S$ — вершина, а $O$ — её проекция на плоскость основания.

Так как по условию все боковые рёбра пирамиды равны ($SA = SB = SC$), то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около основания. Следовательно, расстояние от точки $O$ до вершин треугольника $ABC$ равно радиусу $R$ этой окружности: $OA = OB = OC = R$.

Боковое ребро $SA$ можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике $SOA$, где катетами являются высота пирамиды $SO$ и радиус описанной окружности $R=OA$. По теореме Пифагора: $SA^2 = SO^2 + OA^2$. Нам известна высота $SO = 5$ см, значит, необходимо найти радиус $R$.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности треугольника $ABC$ воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S_{ABC}}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S_{ABC}$ — его площадь.

1. Найдём площадь треугольника $ABC$. Проведём высоту $CH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Из прямоугольного треугольника $AHC$ по теореме Пифагора найдём высоту $CH$:
$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{(3\sqrt{10})^2 - 3^2} = \sqrt{9 \cdot 10 - 9} = \sqrt{90 - 9} = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ см$^2$.

2. Найдём радиус $R$ описанной окружности:
$R = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4S_{ABC}} = \frac{3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10} \cdot 6}{4 \cdot 27} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 6}{108} = \frac{540}{108} = 5$ см.

3. Найдём длину бокового ребра $SA$.
Теперь, зная радиус $OA = R = 5$ см и высоту $SO = 5$ см, из прямоугольного треугольника $SOA$ найдём гипотенузу $SA$ (боковое ребро):
$SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

21.19. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Сначала определим вид треугольника, который является основанием пирамиды. Его стороны равны $a = 5$ см, $b = 12$ см и $c = 13$ см. Проверим, является ли он прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$c^2 = 13^2 = 169$
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник в основании является прямоугольным, где катеты равны 5 см и 12 см, а гипотенуза — 13 см.

Вычислим площадь ($S_{осн}$) и периметр ($P_{осн}$) основания.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ см}^2$.
Периметр равен сумме длин всех сторон:
$P_{осн} = 5 + 12 + 13 = 30 \text{ см}$.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $30^\circ$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема (высота боковой грани) $h_a$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между радиусом $r$ (проведенным к точке касания) и апофемой $h_a$ и есть линейный угол двугранного угла, то есть $\alpha = 30^\circ$.

Для дальнейших расчетов нам понадобится радиус вписанной в основание окружности $r$. Его можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр основания.
Полупериметр $p = \frac{P_{осн}}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.
Найдем радиус:
$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{30}{15} = 2$ см.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны, вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$, где $\alpha$ — величина двугранного угла.
Подставим наши значения: $S_{осн} = 30 \text{ см}^2$ и $\alpha = 30^\circ$.
$S_{бок} = \frac{30}{\cos(30^\circ)}$
Зная, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$S_{бок} = \frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{30 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = \frac{60\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{60\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Ответ: $20\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2) высоту пирамиды.

Высота пирамиды $H$ является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой. В этом треугольнике $H$ — катет, противолежащий углу $\alpha$, а $r$ — катет, прилежащий к этому углу. Они связаны через тангенс:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$
Отсюда выразим высоту: $H = r \cdot \tan(\alpha)$.
Подставим известные значения $r = 2$ см и $\alpha = 30^\circ$:
$H = 2 \cdot \tan(30^\circ)$
Зная, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:
$H = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

21.20. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 16 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=16$ см и $BC=4$ см. Так как все двугранные углы при рёбрах основания равны, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности.

Условием для того, чтобы в трапецию можно было вписать окружность, является равенство сумм её противоположных сторон. Для равнобокой трапеции:
$AD + BC = AB + CD$
Так как $AB = CD$, то $16 + 4 = 2 \cdot AB$, откуда боковая сторона $AB = CD = \frac{20}{2} = 10$ см.

Найдём высоту трапеции $h_{тр}$. Проведём высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AK$ равен полуразности оснований:
$AK = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 4}{2} = 6$ см.

Из прямоугольного треугольника $ABK$ по теореме Пифагора найдём высоту $BK$:
$h_{тр} = BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус $r$ вписанной в трапецию окружности равен половине её высоты:
$r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны $\alpha$, можно найти по формуле:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$, где $S_{осн}$ — площадь основания.

Сначала вычислим площадь основания (трапеции):
$S_{осн} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h_{тр} = \frac{16 + 4}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ см².

Теперь найдём площадь боковой поверхности, зная, что $\alpha = 60°$:
$S_{бок} = \frac{80}{\cos(60°)} = \frac{80}{\frac{1}{2}} = 160$ см².

Ответ: $160$ см².

Пусть $SO$ — высота пирамиды $H$. Точка $O$ — центр вписанной окружности. Расстояние от точки $O$ до любой стороны основания равно радиусу вписанной окружности $r=4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой (высотой боковой грани). Угол между апофемой и радиусом, проведённым в точку касания, является линейным углом двугранного угла при ребре основания и равен $60°$.

Из этого треугольника имеем:
$\tan(60°) = \frac{H}{r}$
Отсюда высота пирамиды $H$:
$H = r \cdot \tan(60°) = 4 \cdot \sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

21.21. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 см и 12 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания, плоскость ещё одной грани, проходящей через большую сторону основания, образует угол $45^\circ$ с плоскостью основания. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть $SABCD$ — данная пирамида, основанием которой является прямоугольник $ABCD$. Обозначим стороны основания как $AB = CD = 12$ см и $AD = BC = 4$ см.

По условию, плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания. Две плоскости, перпендикулярные третьей, пересекаются по прямой, также перпендикулярной этой третьей плоскости. Пусть грани $(SAB)$ и $(SAD)$ перпендикулярны плоскости основания $(ABCD)$. Тогда их общее ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, и, следовательно, $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим высоту как $H = SA$.

1) высоту пирамиды;

В условии сказано, что плоскость ещё одной грани, проходящей через большую сторону основания, образует угол $45^\circ$ с плоскостью основания. Большая сторона основания — 12 см (это $AB$ и $CD$).

Грань $(SAB)$, проходящая через сторону $AB$, перпендикулярна основанию, то есть образует с ним угол $90^\circ$. Следовательно, речь идет о грани $(SCD)$, проходящей через сторону $CD = 12$ см. Угол между плоскостью $(SCD)$ и плоскостью основания $(ABCD)$ равен $45^\circ$.

Этот угол является двугранным углом при ребре $CD$. Для его измерения построим линейный угол. В плоскости основания $ABCD$ проведем прямую, перпендикулярную ребру $CD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD \perp CD$.

Поскольку $SA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, а $AD$ — проекция наклонной $SD$ на эту плоскость, и при этом $AD \perp CD$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $SD$ также перпендикулярна прямой $CD$ ($SD \perp CD$).

Следовательно, линейный угол двугранного угла между плоскостями $(SCD)$ и $(ABCD)$ — это угол $\angle SDA$. По условию $\angle SDA = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAD$. Так как $SA \perp (ABCD)$, то $SA \perp AD$, и $\triangle SAD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SAD$. В этом треугольнике:

$\tan(\angle SDA) = \frac{SA}{AD}$

Отсюда находим высоту $SA$:

$SA = AD \cdot \tan(\angle SDA) = 4 \cdot \tan(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4$ см.

Ответ: высота пирамиды равна 4 см.

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD} + S_{\triangle SDA}$.

Вычислим площадь каждой грани:

• Площадь грани $SDA$. Так как $SA \perp AD$, треугольник $\triangle SAD$ — прямоугольный. $S_{\triangle SDA} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см².

• Площадь грани $SAB$. Так как $SA \perp AB$, треугольник $\triangle SAB$ — прямоугольный. $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 = 24$ см².

• Площадь грани $SCD$. Как было доказано выше, $SD \perp CD$, следовательно, $\triangle SCD$ — прямоугольный. Найдем длину катета $SD$ из прямоугольного $\triangle SAD$ по теореме Пифагора: $SD^2 = SA^2 + AD^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$. $SD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см. Площадь $\triangle SCD$: $S_{\triangle SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см².

• Площадь грани $SBC$. В основании $AB \perp BC$. Так как $SA$ — перпендикуляр к плоскости основания, $SB$ — наклонная, а $AB$ — её проекция, то по теореме о трех перпендикулярах $SB \perp BC$. Следовательно, $\triangle SBC$ — прямоугольный. Найдем длину катета $SB$ из прямоугольного $\triangle SAB$ по теореме Пифагора: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 4^2 + 12^2 = 16 + 144 = 160$. $SB = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см. Площадь $\triangle SBC$: $S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{10} = 8\sqrt{10}$ см².

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности, суммируя площади граней:

$S_{бок} = S_{\triangle SDA} + S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SCD} + S_{\triangle SBC} = 8 + 24 + 24\sqrt{2} + 8\sqrt{10} = 32 + 24\sqrt{2} + 8\sqrt{10}$ см².

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$S_{бок} = 8(4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{10})$ см².

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна $8(4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{10})$ см².