Номер 21.20, страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.20. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 16 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=16$ см и $BC=4$ см. Так как все двугранные углы при рёбрах основания равны, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности.

Условием для того, чтобы в трапецию можно было вписать окружность, является равенство сумм её противоположных сторон. Для равнобокой трапеции:
$AD + BC = AB + CD$
Так как $AB = CD$, то $16 + 4 = 2 \cdot AB$, откуда боковая сторона $AB = CD = \frac{20}{2} = 10$ см.

Найдём высоту трапеции $h_{тр}$. Проведём высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AK$ равен полуразности оснований:
$AK = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 4}{2} = 6$ см.

Из прямоугольного треугольника $ABK$ по теореме Пифагора найдём высоту $BK$:
$h_{тр} = BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус $r$ вписанной в трапецию окружности равен половине её высоты:
$r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны $\alpha$, можно найти по формуле:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$, где $S_{осн}$ — площадь основания.

Сначала вычислим площадь основания (трапеции):
$S_{осн} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h_{тр} = \frac{16 + 4}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ см².

Теперь найдём площадь боковой поверхности, зная, что $\alpha = 60°$:
$S_{бок} = \frac{80}{\cos(60°)} = \frac{80}{\frac{1}{2}} = 160$ см².

Ответ: $160$ см².

Пусть $SO$ — высота пирамиды $H$. Точка $O$ — центр вписанной окружности. Расстояние от точки $O$ до любой стороны основания равно радиусу вписанной окружности $r=4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой (высотой боковой грани). Угол между апофемой и радиусом, проведённым в точку касания, является линейным углом двугранного угла при ребре основания и равен $60°$.

Из этого треугольника имеем:
$\tan(60°) = \frac{H}{r}$
Отсюда высота пирамиды $H$:
$H = r \cdot \tan(60°) = 4 \cdot \sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.