Номер 21.15, страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.15. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 32 см. Высота пирамиды равна 12 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если они образуют равные углы с плоскостью основания.

Пусть дана пирамида $SABC$, где основание $ABC$ — прямоугольный треугольник, а $S$ — вершина пирамиды. Проведем высоту $SO$ к плоскости основания, где $O$ — проекция вершины $S$. По условию, высота $SO = 12$ см.

Боковые рёбра пирамиды ($SA$, $SB$, $SC$) образуют равные углы с плоскостью основания. Угол между ребром и плоскостью — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекциями рёбер $SA$, $SB$ и $SC$ на плоскость основания являются отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ соответственно. Таким образом, по условию $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA$, $\triangle SOB$ и $\triangle SOC$. Они являются прямоугольными, так как $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания. В этих треугольниках катет $SO$ является общим, а острые углы $\angle SAO$, $\angle SBO$, $\angle SCO$ равны. Следовательно, эти треугольники равны по катету и противолежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы и вторые катеты также равны:

$SA = SB = SC$ (боковые рёбра равны).

$OA = OB = OC$.

Условие $OA = OB = OC$ означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Поскольку треугольник $ABC$ — прямоугольный, центр описанной около него окружности лежит на середине его гипотенузы. По условию, длина гипотенузы равна 32 см. Следовательно, радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы:

$R = OA = OB = OC = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь мы можем найти длину любого бокового ребра, используя теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников, например, для $\triangle SOA$. В этом треугольнике катеты $SO = 12$ см и $OA = 16$ см, а гипотенуза — боковое ребро $SA$.

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$SA^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$

$SA = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как все боковые рёбра равны, то длина каждого из них составляет 20 см.

Ответ: 20 см.