Номер 21.21, страница 225 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.21. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 см и 12 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания, плоскость ещё одной грани, проходящей через большую сторону основания, образует угол $45^\circ$ с плоскостью основания. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть $SABCD$ — данная пирамида, основанием которой является прямоугольник $ABCD$. Обозначим стороны основания как $AB = CD = 12$ см и $AD = BC = 4$ см.

По условию, плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания. Две плоскости, перпендикулярные третьей, пересекаются по прямой, также перпендикулярной этой третьей плоскости. Пусть грани $(SAB)$ и $(SAD)$ перпендикулярны плоскости основания $(ABCD)$. Тогда их общее ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, и, следовательно, $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим высоту как $H = SA$.

1) высоту пирамиды;

В условии сказано, что плоскость ещё одной грани, проходящей через большую сторону основания, образует угол $45^\circ$ с плоскостью основания. Большая сторона основания — 12 см (это $AB$ и $CD$).

Грань $(SAB)$, проходящая через сторону $AB$, перпендикулярна основанию, то есть образует с ним угол $90^\circ$. Следовательно, речь идет о грани $(SCD)$, проходящей через сторону $CD = 12$ см. Угол между плоскостью $(SCD)$ и плоскостью основания $(ABCD)$ равен $45^\circ$.

Этот угол является двугранным углом при ребре $CD$. Для его измерения построим линейный угол. В плоскости основания $ABCD$ проведем прямую, перпендикулярную ребру $CD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD \perp CD$.

Поскольку $SA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, а $AD$ — проекция наклонной $SD$ на эту плоскость, и при этом $AD \perp CD$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $SD$ также перпендикулярна прямой $CD$ ($SD \perp CD$).

Следовательно, линейный угол двугранного угла между плоскостями $(SCD)$ и $(ABCD)$ — это угол $\angle SDA$. По условию $\angle SDA = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAD$. Так как $SA \perp (ABCD)$, то $SA \perp AD$, и $\triangle SAD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SAD$. В этом треугольнике:

$\tan(\angle SDA) = \frac{SA}{AD}$

Отсюда находим высоту $SA$:

$SA = AD \cdot \tan(\angle SDA) = 4 \cdot \tan(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4$ см.

Ответ: высота пирамиды равна 4 см.

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD} + S_{\triangle SDA}$.

Вычислим площадь каждой грани:

• Площадь грани $SDA$. Так как $SA \perp AD$, треугольник $\triangle SAD$ — прямоугольный. $S_{\triangle SDA} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см².

• Площадь грани $SAB$. Так как $SA \perp AB$, треугольник $\triangle SAB$ — прямоугольный. $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 = 24$ см².

• Площадь грани $SCD$. Как было доказано выше, $SD \perp CD$, следовательно, $\triangle SCD$ — прямоугольный. Найдем длину катета $SD$ из прямоугольного $\triangle SAD$ по теореме Пифагора: $SD^2 = SA^2 + AD^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$. $SD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см. Площадь $\triangle SCD$: $S_{\triangle SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см².

• Площадь грани $SBC$. В основании $AB \perp BC$. Так как $SA$ — перпендикуляр к плоскости основания, $SB$ — наклонная, а $AB$ — её проекция, то по теореме о трех перпендикулярах $SB \perp BC$. Следовательно, $\triangle SBC$ — прямоугольный. Найдем длину катета $SB$ из прямоугольного $\triangle SAB$ по теореме Пифагора: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 4^2 + 12^2 = 16 + 144 = 160$. $SB = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см. Площадь $\triangle SBC$: $S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{10} = 8\sqrt{10}$ см².

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности, суммируя площади граней:

$S_{бок} = S_{\triangle SDA} + S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SCD} + S_{\triangle SBC} = 8 + 24 + 24\sqrt{2} + 8\sqrt{10} = 32 + 24\sqrt{2} + 8\sqrt{10}$ см².

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$S_{бок} = 8(4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{10})$ см².

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна $8(4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{10})$ см².