Номер 21.28, страница 226 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.28. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $MABCD$ равны. Точки $K$ и $P$ — середины рёбер $AD$ и $BC$ соответственно. Найдите угол между прямыми $AP$ и $KM$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AP$ и $KM$ воспользуемся координатно-векторным методом. Пусть ребро правильной пирамиды равно $a$. В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$, а боковые грани являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

1. Введение системы координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре основания $O$. Направим ось $Ox$ параллельно ребру $AB$, ось $Oy$ — параллельно ребру $AD$, а ось $Oz$ — по высоте пирамиды $OM$.

В этой системе координат вершины основания имеют следующие координаты:

• $A(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$
• $B(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$
• $C(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$
• $D(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$

2. Нахождение координат точек K, P и M.

Точка $K$ — середина ребра $AD$. Ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $D$:

$K(\frac{-a/2 + (-a/2)}{2}, \frac{-a/2 + a/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = K(-\frac{a}{2}, 0, 0)$.

Точка $P$ — середина ребра $BC$. Ее координаты равны полусумме координат точек $B$ и $C$:

$P(\frac{a/2 + a/2}{2}, \frac{-a/2 + a/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = P(\frac{a}{2}, 0, 0)$.

Вершина пирамиды $M$ лежит на оси $Oz$, ее координаты $M(0, 0, h)$, где $h=OM$ — высота пирамиды. Найдем высоту из прямоугольного треугольника $AOM$. Катет $OA$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$, следовательно, $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Гипотенуза $AM$ — это боковое ребро, равное $a$. По теореме Пифагора:

$h^2 = OM^2 = AM^2 - OA^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Отсюда $h = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, координаты вершины $M(0, 0, \frac{a\sqrt{2}}{2})$.

3. Нахождение векторов прямых.

Найдем направляющий вектор $\vec{v}_{AP}$ для прямой $AP$:

$\vec{v}_{AP} = \vec{P} - \vec{A} = (\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}), 0 - (-\frac{a}{2}), 0 - 0) = (a, \frac{a}{2}, 0)$.

Найдем направляющий вектор $\vec{v}_{KM}$ для прямой $KM$:

$\vec{v}_{KM} = \vec{M} - \vec{K} = (0 - (-\frac{a}{2}), 0 - 0, \frac{a\sqrt{2}}{2} - 0) = (\frac{a}{2}, 0, \frac{a\sqrt{2}}{2})$.

4. Вычисление угла между векторами.

Угол $\alpha$ между прямыми $AP$ и $KM$ найдем как угол между их направляющими векторами по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v}_{AP} \cdot \vec{v}_{KM}|}{|\vec{v}_{AP}| \cdot |\vec{v}_{KM}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{v}_{AP} \cdot \vec{v}_{KM} = (a)(\frac{a}{2}) + (\frac{a}{2})(0) + (0)(\frac{a\sqrt{2}}{2}) = \frac{a^2}{2}$.

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{v}_{AP}| = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

$|\vec{v}_{KM}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + 0^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{|\frac{a^2}{2}|}{\frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{15}}{4}} = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{4}{a^2\sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{15}}$.

Искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения.

$\alpha = \arccos(\frac{2}{\sqrt{15}})$.

Ответ: $\arccos(\frac{2}{\sqrt{15}})$.