Номер 21.31, страница 226 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.31. Расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до плоскости её боковой грани равно $d$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида, где $S$ — вершина, а $ABC$ — основание (правильный треугольник). Пусть $O$ — центр основания, тогда $SO$ — высота пирамиды. Пусть $M$ — середина ребра $BC$. Линия $AM$ является медианой и высотой основания, а $SM$ — апофемой (высотой боковой грани $SBC$).

Двугранный угол при ребре основания — это угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. Так как $SM \perp BC$ (как апофема) и $OM \perp BC$ (поскольку $OM$ — проекция $SM$ на плоскость основания), то линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle SMO$. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Расстояние от центра основания $O$ до плоскости боковой грани $(SBC)$ — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на эту плоскость, где $H$ — точка на плоскости $(SBC)$. По условию, $OH = d$. Так как плоскость $(SMO)$ перпендикулярна ребру $BC$, то перпендикуляр $OH$ к плоскости $(SBC)$ лежит в плоскости $(SMO)$. Следовательно, точка $H$ лежит на апофеме $SM$, и $OH \perp SM$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SMO$. Поскольку $SO$ — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $OM$. Таким образом, $\triangle SMO$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle SOM = 90^\circ$. В этом треугольнике $OH$ является высотой, проведенной к гипотенузе $SM$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OMH$ (с прямым углом при $H$) мы можем выразить $OM$:$\sin(\angle OMH) = \frac{OH}{OM}$$\sin \alpha = \frac{d}{OM}$Отсюда радиус окружности, вписанной в основание, равен:$OM = \frac{d}{\sin \alpha}$

Пусть сторона основания $a = BC$. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной формулой $OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. Приравнивая два выражения для $OM$, находим сторону основания:$\frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{d}{\sin \alpha}$$a = \frac{6d}{\sqrt{3}\sin \alpha} = \frac{2\sqrt{3}d}{\sin \alpha}$

Теперь найдем длину апофемы $SM$ из прямоугольного треугольника $\triangle SMO$:$\cos \alpha = \frac{OM}{SM}$$SM = \frac{OM}{\cos \alpha} = \frac{d/\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{d}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна утроенной площади одной боковой грани:$S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle SBC} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM\right)$Подставляем найденные выражения для $BC=a$ и $SM$:$S_{бок} = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{2\sqrt{3}d}{\sin \alpha}\right) \cdot \left(\frac{d}{\sin \alpha \cos \alpha}\right) = \frac{3\sqrt{3}d^2}{\sin^2 \alpha \cos \alpha}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}d^2}{\sin^2 \alpha \cos \alpha}$