Номер 21.36, страница 227 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.36. Основанием пирамиды $MABCD$ является ромб со стороной $a$. Плоскости боковых граней $ABM$ и $CBM$ перпендикулярны плоскости основания, а двугранный угол при ребре $MB$ является тупым и равен $\alpha$. Угол между плоскостью $AMD$ и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть $MABCD$ — заданная пирамида. Основанием является ромб $ABCD$ со стороной $a$. По условию, плоскости боковых граней $(ABM)$ и $(CBM)$ перпендикулярны плоскости основания $(ABCD)$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(CBM)$ является ребро $MB$. Следовательно, ребро $MB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$. Это означает, что $MB$ является высотой пирамиды, а боковые грани $ABM$ и $CBM$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $B$.

Двугранный угол при ребре $MB$ образован полуплоскостями $(ABM)$ и $(CBM)$. Для нахождения его линейного угла нужно в точке на ребре $MB$ восстановить перпендикуляры к нему в каждой из плоскостей. Поскольку $MB \perp (ABCD)$, то любая прямая в плоскости основания, проходящая через точку $B$, будет перпендикулярна $MB$. Такими прямыми являются стороны ромба $BA$ и $BC$. Следовательно, угол $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $MB$. По условию, этот угол тупой и равен $\alpha$, значит, $\angle ABC = \alpha$. Так как $ABCD$ — ромб, то сумма соседних углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAD = 180^\circ - \alpha$.

Найдем высоту пирамиды MB

Угол между плоскостью $(AMD)$ и плоскостью основания $(ABCD)$ равен $\beta$. Для нахождения этого угла построим его линейную меру. Проведем из точки $B$ (проекции вершины $M$ на основание) перпендикуляр $BK$ к стороне $AD$ основания. Так как $BK$ — проекция наклонной $MK$ на плоскость основания и $BK \perp AD$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MK$ также перпендикулярна $AD$ ($MK \perp AD$). Таким образом, $MK$ является высотой боковой грани $AMD$, а угол $\angle MKB$ — это линейный угол двугранного угла между плоскостью $(AMD)$ и плоскостью основания. По условию $\angle MKB = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Он прямоугольный ($BK$ — высота). Его гипотенуза $AB = a$, а угол $\angle BAK = \angle BAD = 180^\circ - \alpha$. Тогда длина катета $BK$ равна: $BK = AB \cdot \sin(\angle BAK) = a \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = a \sin(\alpha)$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBK$ (угол $\angle MBK = 90^\circ$, так как $MB$ — высота пирамиды). Из этого треугольника найдем высоту пирамиды $MB$: $\tan(\beta) = \frac{MB}{BK} \Rightarrow MB = BK \cdot \tan(\beta) = a \sin(\alpha) \tan(\beta)$.

Найдем площади боковых граней

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle ABM} + S_{\triangle CBM} + S_{\triangle AMD} + S_{\triangle CMD}$.

1. Грани $ABM$ и $CBM$ — равные прямоугольные треугольники (по двум катетам: $AB=CB=a$, $MB$ — общий). $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MB = \frac{1}{2} a \cdot (a \sin(\alpha) \tan(\beta)) = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha) \tan(\beta)$.

2. Для грани $AMD$ ее основание $AD=a$, а высота $MK$. Из прямоугольного треугольника $\triangle MBK$: $\cos(\beta) = \frac{BK}{MK} \Rightarrow MK = \frac{BK}{\cos(\beta)} = \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\beta)}$. Площадь грани $AMD$: $S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot MK = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\beta)} = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\beta)}$.

3. Для грани $CMD$, в силу симметрии ромба относительно диагонали $BD$, высота, проведенная из $B$ к стороне $CD$, равна высоте $BK$. То есть, если провести $BL \perp CD$, то $BL = BK = a \sin(\alpha)$. Аналогично предыдущему пункту, высота грани $CMD$ из вершины $M$ будет равна $ML = \frac{BL}{\cos(\beta)} = \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\beta)}$. Таким образом, грани $AMD$ и $CMD$ равны ($AD=CD$, $AM=CM$, $MD$ — общая), и их площади равны. $S_{\triangle CMD} = S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\beta)}$.

Найдем площадь боковой поверхности

Сложим площади всех граней: $S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle ABM} + 2 \cdot S_{\triangle AMD} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha) \tan(\beta)\right) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\beta)}\right)$ $S_{бок} = a^2 \sin(\alpha) \tan(\beta) + a^2 \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\beta)}$ Вынесем общий множитель $a^2 \sin(\alpha)$: $S_{бок} = a^2 \sin(\alpha) \left( \tan(\beta) + \frac{1}{\cos(\beta)} \right)$ Упростим выражение в скобках: $\tan(\beta) + \frac{1}{\cos(\beta)} = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} + \frac{1}{\cos(\beta)} = \frac{1 + \sin(\beta)}{\cos(\beta)}$ Окончательно получаем: $S_{бок} = a^2 \sin(\alpha) \frac{1 + \sin(\beta)}{\cos(\beta)}$.

Ответ: $a^2 \sin(\alpha) \frac{1 + \sin(\beta)}{\cos(\beta)}$