Номер 21.34, страница 227 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.34. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, а высота пирамиды равна $3\sqrt{15}$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами $a = 8$ см и $b = 15$ см. Высота пирамиды $H = 3\sqrt{15}$ см.

1. Найдем параметры основания пирамиды
Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.
Периметр основания $P$ равен сумме длин его сторон:
$P = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40$ см.
Площадь основания $S_{осн}$ равна:
$S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см$^2$.

2. Определим положение высоты пирамиды и найдем радиус вписанной окружности
По условию, двугранные углы при ребрах основания равны. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Расстояние от этого центра до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$.
Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

3. Найдем апофему пирамиды
Апофема (высота боковой грани) $h_a$ одинакова для всех боковых граней, так как они наклонены к основанию под одним углом. Апофема, высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, где апофема является гипотенузой. Найдем ее по теореме Пифагора:
$h_a^2 = H^2 + r^2$
$h_a = \sqrt{(3\sqrt{15})^2 + 3^2} = \sqrt{9 \cdot 15 + 9} = \sqrt{135 + 9} = \sqrt{144} = 12$ см.

4. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды
Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ с равными апофемами боковых граней вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$
Подставим найденные значения периметра и апофемы:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 12 = 20 \cdot 12 = 240$ см$^2$.

Ответ: 240 см$^2$.