Номер 21.41, страница 227 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.41. Сторона $AB$ и высота $MO$ правильной четырёхугольной пирамиды $MABCD$ соответственно равны 8 см и 4 см. Точка $K$ — середина ребра $DC$. Найдите расстояние между прямыми $MK$ и $AC$.

Пусть $MABCD$ — данная правильная четырёхугольная пирамида. В её основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $AB = 8 \text{ см}$. Высота пирамиды $MO = 4 \text{ см}$, где $O$ — центр квадрата (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Точка $K$ — середина ребра $DC$. Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми $MK$ и $AC$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Мы найдём это расстояние, используя метод параллельной плоскости. Построим плоскость, проходящую через одну из прямых (например, $MK$) и параллельную второй прямой ($AC$). Расстояние от любой точки прямой $AC$ до этой плоскости будет искомым расстоянием.

Проведём в плоскости основания через точку $K$ прямую, параллельную $AC$. Пусть $L$ — середина ребра $AD$. Тогда $KL$ — средняя линия треугольника $ADC$, и, следовательно, $KL \parallel AC$.

Рассмотрим плоскость $(MKL)$. Так как прямая $MK$ лежит в этой плоскости, а прямая $KL$, также лежащая в этой плоскости, параллельна $AC$, то вся плоскость $(MKL)$ параллельна прямой $AC$ по признаку параллельности прямой и плоскости. Таким образом, расстояние между прямыми $MK$ и $AC$ равно расстоянию от любой точки прямой $AC$ до плоскости $(MKL)$. В качестве такой точки удобно взять центр основания $O$, который лежит на диагонали $AC$. Итак, искомое расстояние $d$ равно расстоянию от точки $O$ до плоскости $(MKL)$.

Найдём это расстояние $d(O, (MKL))$ с помощью метода объёмов. Рассмотрим тетраэдр $MOKL$. Его объём $V$ можно вычислить двумя способами:

1. $V = \frac{1}{3} S_{OKL} \cdot MO$, так как $MO$ — высота пирамиды, перпендикулярная плоскости основания, в которой лежит треугольник $OKL$.

2. $V = \frac{1}{3} S_{MKL} \cdot d$, где $d$ — искомое расстояние, то есть высота тетраэдра, опущенная из вершины $O$ на грань $MKL$.

Приравняв оба выражения для объёма, получим: $S_{OKL} \cdot MO = S_{MKL} \cdot d$, откуда $d = \frac{S_{OKL} \cdot MO}{S_{MKL}}$.

Вычислим необходимые величины.Высота пирамиды дана: $MO = 4 \text{ см}$.В основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $8 \text{ см}$. Точка $O$ — его центр. $K$ и $L$ — середины сторон $DC$ и $AD$ соответственно. Отрезок $OK$ соединяет центр квадрата с серединой стороны $DC$, поэтому он параллелен стороне $AD$ и равен её половине. Таким образом, $OK = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}$. Аналогично, отрезок $OL$ соединяет центр с серединой стороны $AD$, поэтому он параллелен стороне $DC$ и равен её половине: $OL = \frac{1}{2} DC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}$. Так как в квадрате смежные стороны перпендикулярны ($AD \perp DC$), то и отрезки $OK$ и $OL$ также перпендикулярны ($OK \perp OL$).

Следовательно, треугольник $OKL$ является прямоугольным. Его площадь:$S_{OKL} = \frac{1}{2} \cdot OK \cdot OL = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2$.

Теперь найдём площадь треугольника $MKL$. Для этого вычислим длины его сторон.Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOK$ (так как $MO \perp$ плоскости основания, то $MO \perp OK$). По теореме Пифагора:$MK^2 = MO^2 + OK^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.$MK = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOL$ ($MO \perp OL$):$ML^2 = MO^2 + OL^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.$ML = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKL$:$KL^2 = OK^2 + OL^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.$KL = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Все стороны треугольника $MKL$ равны $4\sqrt{2} \text{ см}$, значит, он равносторонний. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.$S_{MKL} = \frac{(4\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Теперь можем найти искомое расстояние $d$:$d = \frac{S_{OKL} \cdot MO}{S_{MKL}} = \frac{8 \cdot 4}{8\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.