Номер 21.47, страница 228 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.47. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник. Высота пирамиды равна 6 см. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный $60^\circ$. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть SABC — данная пирамида, где основание ABC — равносторонний треугольник, а SO — её высота. По условию, высота пирамиды $SO = 6$ см.

Поскольку все боковые грани образуют с плоскостью основания одинаковый угол, равный $60^{\circ}$, вершина пирамиды S проецируется в точку O, которая является центром вписанной в основание окружности.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла. Проведем апофему SM (высоту боковой грани SAB). Тогда её проекция на основание — это отрезок OM, который является радиусом вписанной в основание окружности. Угол $\angle SMO$ и есть угол между боковой гранью и основанием, то есть $\angle SMO = 60^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^{\circ}$). В этом треугольнике катет $SO$ — это высота пирамиды, а катет $OM$ — это радиус $r$ вписанной в основание окружности. Мы можем найти $r$ через тангенс угла $\angle SMO$: $\text{tg}(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$ $\text{tg}(60^{\circ}) = \frac{6}{r}$

Зная, что $\text{tg}(60^{\circ}) = \sqrt{3}$, получаем уравнение: $\sqrt{3} = \frac{6}{r}$ Отсюда находим радиус $r$: $r = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус $r$ вписанной в равносторонний треугольник окружности связан с его стороной $a$ формулой $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Выразим и найдем сторону основания $a$: $a = r \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Теперь, зная сторону равностороннего треугольника, найдем его площадь $S_{осн}$ по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ Подставим значение $a = 12$ см: $S_{осн} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

Ответ: $36\sqrt{3}$ см².