Номер 21.48, страница 228 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.48. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $b$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Все вершины пирамиды равноудалены от некоторой плоскости $\pi$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $\pi$.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. В основании лежит равносторонний треугольник ABC. По условию, боковое ребро равно $b$, то есть $SA = SB = SC = b$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$, то есть $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = \alpha$.

Условие, что все вершины пирамиды равноудалены от некоторой плоскости $\pi$, означает, что вершины лежат на двух плоскостях, параллельных $\pi$ и находящихся на одинаковом расстоянии от нее. При этом плоскость $\pi$ проходит ровно посередине между этими двумя плоскостями. Это означает, что сечение пирамиды плоскостью $\pi$ будет многоугольником, вершины которого являются серединами ребер, соединяющих вершины из одной группы (лежащие на одной параллельной плоскости) с вершинами из другой группы (лежащие на другой параллельной плоскости).

Существует два принципиально разных способа разбить четыре вершины пирамиды на две группы:

1. Одна вершина находится по одну сторону от плоскости $\pi$, а три другие — по другую. В этом случае сечение будет треугольником. В зависимости от того, какая вершина отделена (вершина пирамиды S или одна из вершин основания), получатся сечения с, вообще говоря, разной площадью.
2. Две вершины находятся по одну сторону от плоскости $\pi$, а две другие — по другую. В этом случае сечение будет четырехугольником.

Поскольку в задаче требуется найти "площадь сечения" (в единственном числе), это предполагает однозначный ответ. Наиболее естественным и геометрически значимым является случай, когда секущая плоскость $\pi$ проходит через центр масс (центроид) вершин пирамиды. Можно показать, что этому условию удовлетворяет только второй тип разбиения (2 вершины против 2). При таком разбиении плоскость $\pi$ проходит через середины четырех ребер пирамиды. В силу симметрии правильной пирамиды, все три возможных сечения такого типа (когда вершина S группируется с одной из вершин основания) будут иметь одинаковую площадь. Поэтому мы найдем площадь сечения для одного из таких случаев, например, когда вершины S и A находятся по одну сторону от плоскости $\pi$, а вершины B и C — по другую.

В этом случае плоскость $\pi$ пересекает ребра, соединяющие вершины из группы $\{S, A\}$ с вершинами из группы $\{B, C\}$. Это ребра $SB$, $SC$, $AB$ и $AC$. Сечением является четырехугольник, вершинами которого служат середины этих ребер.

Для начала найдем длину стороны основания $a = AB = BC = CA$. Рассмотрим боковую грань — равнобедренный треугольник SAB. По теореме косинусов:

$a^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos(\alpha) = b^2 + b^2 - 2b^2\cos(\alpha) = 2b^2(1 - \cos(\alpha))$

Применив формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\alpha/2)$, получим:

$a^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Отсюда $a = 2b\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Вершины сечения — это середины ребер $AB$, $AC$, $SB$ и $SC$. Обозначим их $M_{AB}$, $M_{AC}$, $M_{SB}$ и $M_{SC}$.Отрезок $M_{AB}M_{AC}$ является средней линией треугольника $ABC$, следовательно, он параллелен $BC$ и равен $BC/2 = a/2$.Отрезок $M_{SB}M_{SC}$ является средней линией треугольника $SBC$, следовательно, он параллелен $BC$ и равен $BC/2 = a/2$.Отрезок $M_{AB}M_{SB}$ является средней линией треугольника $ASB$, следовательно, он параллелен $AS$ (или $SA$) и равен $AS/2 = b/2$.Отрезок $M_{AC}M_{SC}$ является средней линией треугольника $ASC$, следовательно, он параллелен $AS$ и равен $AS/2 = b/2$.Таким образом, сечение $M_{AB}M_{SB}M_{SC}M_{AC}$ — это параллелограмм со сторонами $a/2$ и $b/2$.

Чтобы найти площадь этого параллелограмма, нужно определить угол между его сторонами. Этот угол равен углу между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BC$. Найдем этот угол с помощью скалярного произведения векторов. Расположим начало координат в вершине $S$. Тогда $\vec{SA} \cdot \vec{SB} = |\vec{SA}||\vec{SB}|\cos(\alpha) = b^2\cos(\alpha)$. Аналогично, $\vec{SA} \cdot \vec{SC} = b^2\cos(\alpha)$ и $\vec{SB} \cdot \vec{SC} = b^2\cos(\alpha)$.

Вектор ребра $SA$ это $\vec{SA}$, а вектор ребра $BC$ это $\vec{SC} - \vec{SB}$. Их скалярное произведение:

$\vec{SA} \cdot \vec{BC} = \vec{SA} \cdot (\vec{SC} - \vec{SB}) = \vec{SA} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SB} = b^2\cos(\alpha) - b^2\cos(\alpha) = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Это означает, что боковое ребро $SA$ перпендикулярно противолежащему ребру основания $BC$. Следовательно, параллелограмм в сечении является прямоугольником.

Площадь этого прямоугольника равна произведению длин его сторон:

$S_{сеч} = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}$

Подставим найденное ранее выражение для $a$:

$S_{сеч} = \frac{(2b\sin(\frac{\alpha}{2})) \cdot b}{4} = \frac{2b^2\sin(\frac{\alpha}{2})}{4} = \frac{1}{2}b^2\sin(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $S_{сеч} = \frac{1}{2}b^2\sin\frac{\alpha}{2}$.